ทอรัส (เรขาคณิต)

"torus" เปลี่ยนทางมาที่นี่ สำหรับความหมายอื่น ดูที่ ทอรัส

ทอรัส

ทอรัส หรือ โทรัส (อังกฤษ: torus, พหูพจน์: tori) หรือ ทรงห่วงยาง คือผิวของการหมุนรอบชนิดหนึ่ง สร้างขึ้นจากการหมุนรูปวงกลมในปริภูมิสามมิติ รอบแกนเส้นตรงที่อยู่ในระนาบเดียวกันกับรูปวงกลม แต่ไม่ได้สัมผัสหรือตัดกับรูปวงกลม ตัวอย่างของวัตถุที่มีพื้นผิวอย่างทอรัสเช่น โดนัท และยางในของรถยนต์ (ห่วงยาง) ทรงตันหรือที่ว่างซึ่งบรรจุอยู่ภายในพื้นผิวจะเรียกว่า ทอรอยด์ (toroid)

รูปวงกลมที่หมุนรอบคอร์ด (เส้นตรงที่ตัดรูปวงกลม) อาจถูกเรียกว่าทอรัสในบางบริบท ซึ่งไม่ใช่การใช้งานโดยปกติในทางคณิตศาสตร์ รูปร่างที่เกิดขึ้นจากรูปวงกลมที่หมุนรอบคอร์ดจะมีลักษณะคล้ายหมอนกลมที่บุ๋มตรงกลาง ซึ่งคำว่า torus ในภาษาละตินแปลว่าหมอนนั่นเอง

ในทางเรขาคณิต

พื้นผิวทอรัสสามารถนิยามได้ด้วยสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้

$x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,$

$y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,$

$z(u,v)=r\sin {v}\,$

เมื่อ

• u, v มีค่าอยู่ในช่วง [0, 2π]
• R คือระยะจากจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ ไปยังจุดศูนย์กลางของทอรัส
• r คือระยะจากจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ ไปตั้งฉากกับพื้นผิว (รัศมีของทอรอยด์)

ส่วนสมการในพิกัดคาร์ทีเซียนของทอรัสที่มีแกน z เป็นแกนหมุนคือ

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}\,\!$

ซึ่งเมื่อลดรูปรากที่สอง จะทำให้เกิดเป็นสมการกำลังสี่ดังนี้

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2})\,\!$

พื้นที่ผิวและปริมาตรภายในของทอรัส สามารถคำนวณได้จาก

$A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,$

$V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)\,$

สูตรเหล่านี้เหมือนกับสูตรพื้นที่ผิวข้างและปริมาตรของทรงกระบอกที่มีความยาว 2πR และมีรัศมี r ซึ่งสามารถสร้างได้จากการตัดทอรอยด์ออกข้างหนึ่งตามแนวขวาง แล้วดึงออกให้เป็นทรงกระบอกแนวตรง โดยให้มีความยาวเท่ากับเส้นรอบวงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ พื้นที่ผิวและปริมาตรที่หายไปของผิวโค้งด้านใน จะเท่ากับพื้นที่ผิวและปริมาตรส่วนเกินของผิวโค้งด้านนอกอย่างพอดี

ในทางทอพอโลยี

ทอรัสคือผลคูณของรูปวงกลมสองวง

ทอรัสในทางทอพอโลยี คือผิวปิดที่นิยามโดยผลคูณของรูปวงกลมสองวง S¹ × S¹ หรืออาจมองได้ว่าทอรัสวางตัวอยู่ใน C² และเป็นเซตย่อยของทรงกลมสี่มิติ (3-sphere) S³ ที่มีรัศมี √2 ทอรัสในลักษณะนี้มักจะเรียกว่า คลิฟฟอร์ดทอรัส (Clifford torus) ในความเป็นจริงแล้ว S³ ถูกบรรจุเติมเต็มด้วยกลุ่มของทอรัสเป็นโครงข่าย ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่สำคัญในการศึกษา S³ ที่เป็นมัดเส้นใย (fiber bundle) บน S² (นั่นคือ มัดเส้นใยฮอปฟ์ Hopf bundle)