รอยเมทริกซ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในพีชคณิตเชิงเส้น รอยเมทริกซ์ หรือ เดือยเมทริกซ์ (ทับศัพท์ว่า เทรซ) คือผลบวกของสมาชิกที่อยู่บนเส้นทแยงมุมของเมทริกซ์จัตุรัส (จากซ้ายบนไปขวาล่าง) นั่นคือ

\mathrm{tr} (A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}=\sum_i a_{i i} \,

โดยที่ a_{ij} หมายถึงสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ A นอกจากนั้น รอยเมทริกซ์ยังเท่ากับผลบวกของค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) อีกด้วย

ดังตัวอย่างการหารอยเมทริกซ์ ของเมทริกซ์ต่อไปนี้

\mathrm{tr}\begin{pmatrix}
1 & 5 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & -3 & -4 \end{pmatrix} = 
1 + 1 + (-4) = -2

คุณสมบัติ[แก้]

กำหนดให้เมทริกซ์ A, B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×n และสเกลาร์ r รอยเมทริกซ์จะมีคุณสมบัติดังนี้

  1. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
  2. tr (rA) = r tr (A)
  3. tr (A) = tr (AT)
  4. tr (AB) = tr (BA)
  5. tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA) โดยที่การคูณเมทริกซ์อยู่ในลักษณะของการเลื่อนวน