ริง (คณิตศาสตร์)

ในทางคณิตศาสตร์ ริง (ring) หมายถึงโครงสร้างเชิงพีชคณิตประเภทหนึ่ง ซึ่งประกอบด้วยคุณสมบัติต่างๆ ทางพีชคณิตของจำนวนเต็ม ริงหนึ่งๆ มีการดำเนินการสองชนิดที่มักเรียกว่า การบวก กับ การคูณ ต่างกับกรุป (group) ที่มีการดำเนินการเพียงชนิดเดียว สาขาหนึ่งของพีชคณิตนามธรรมที่ศึกษาเกี่ยวกับริง เรียกว่า ทฤษฎีริง

นิยามทั่วไป

ริงหนึ่งๆ ของเซต R ที่มีการดำเนินการทวิภาคของการบวก + : R × R → R และการคูณ · : R × R → R (ในขณะที่เครื่องหมาย × หมายถึงผลคูณคาร์ทีเซียน) มีส่วนประกอบต่อไปนี้

• กรุป (R, +) ที่เรียกว่าอาบีเลียนกรุป (abelian group) พร้อมกับสมาชิกเอกลักษณ์ 0 ดังนั้นสำหรับ ∀(a, b, c) ∈ R จะทำให้เกิดสัจพจน์ต่อไปนี้
  • a + b ∈ R
  • (a + b) + c = a + (b + c)
  • 0 + a = a
  • a + b = b + a
  • ∃(−a) ∈ R ซึ่งทำให้ a + (−a) = (−a) + a = 0
• กรุป (R, ·) ที่เรียกว่าโมนอยด์ (monoid) พร้อมกับสมาชิกเอกลักษณ์ 1 ดังนั้นสำหรับ ∀(a, b, c) ∈ R จะทำให้เกิดสัจพจน์ต่อไปนี้
  • a · b ∈ R
  • (a · b) · c = a · (b · c)
  • 1 · a = a · 1 = a
• กฎการกระจายการคูณบนการบวก ได้แก่
  • a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
  • (a + b) · c = (a · c) + (b · c)

ในเรื่องของกรุป เครื่องหมาย · มักจะถูกละทิ้งไป แล้วนำตัวแปรสองตัวเขียนติดกันแทนการคูณ เรียกวิธีการนี้ว่า juxtaposition นอกจากนั้นริงมีการใช้ลำดับของการดำเนินการอีกด้วย ซึ่งการคูณสำคัญกว่าการบวก ดังนั้น a + bc จึงมีความหมายเหมือนกับ a + (b · c)

ถึงแม้ว่าการบวกในริงจะมีสมบัติการสลับที่ นั่นคือ a + b = b + a แต่สำหรับการคูณนั้นไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัตินี้ หมายความว่า a · b ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ b · a ตัวอย่างริงที่ไม่มีสมบัติการสลับที่ของการคูณเช่น ริงของเมทริกซ์จัตุรัส เป็นต้น สำหรับริงที่มีคุณสมบัติการสลับที่ของการคูณ (เช่นริงของจำนวนเต็ม) จะเรียกว่า ริงสลับที่ (commutative ring)

ริงไม่จำเป็นต้องมีตัวผกผันการคูณเช่นกัน สมาชิก a ในริงหนึ่งๆ จะเรียกว่า หน่วย (unit) ถ้าสมาชิกนั้นมีตัวผกผันภายใต้การคูณของริงนั้น จากตัวอย่าง สมมติให้ b เป็นสมาชิกอีกตัวหนึ่งในริงซึ่งทำให้ a · b = b · a = 1 (1 ในที่นี้หมายถึงสมาชิกเอกลักษณ์) ดังนั้น a มีตัวผกผันเป็น b หรือเขียนแทนได้ด้วย a⁻¹ = b จะได้ว่า a นั้นเป็นหน่วยหนึ่งของริงดังกล่าว เซตของหน่วยทั้งหมดในริง R สามารถสร้างเป็นกรุปใหม่ภายใต้การคูณของริง เขียนแทนด้วย U(R) หรือ R*

นิยามแบบอื่น

ริงมีการนิยามแบบอื่นอีกซึ่งผู้ศึกษาควรระมัดระวัง

• ผู้แต่งตำราบางท่านได้เพิ่มเงื่อนไขว่าจำเป็นต้องให้ 0 ≠ 1 แต่บน ริงชัด (trivial ring) หรือ ริงศูนย์ (zero ring) มีสมาชิกเพียงแค่ตัวเดียวเท่านั้น
• ผู้แต่งตำราบางท่าน เช่น I. N. Herstein ไม่ได้ระบุว่าริงจำเป็นต้องมีเอกลักษณ์การคูณ แต่เรียกริงที่มีเอกลักษณ์การคูณว่า ริงเอกลักษณ์ (unital/unitary ring) ส่วน Nicolas Bourbaki ระบุไว้แล้วว่าจำเป็นต้องมี แต่เรียกริงที่ไม่มีเอกลักษณ์ว่า ริงเทียม (pseudo-ring) หรือ rng (มาจาก ring ที่ตัดตัว i ออกไป) ตัวอย่างหนึ่งของริงเทียมคือ ริงของจำนวนคู่
• การคูณในริงจำเป็นต้องมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ซึ่งบางครั้งก็ถูกละเลยไป ริงที่ยังคงสมบัติการเปลี่ยนหมู่เรียกว่า ริงเปลี่ยนหมู่ (associative ring) ในทางตรงข้าม ริงที่ไม่จำเป็นต้องมีสมบัตินี้เรียกว่า ริงไม่เปลี่ยนหมู่ (nonassociative ring)
• ริงนั้นไม่จำเป็นต้องมีสมบัติการสลับที่ของการคูณ แต่ในบางขอบเขตของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและพีชคณิตสลับที่ใช้ริงสลับที่เป็นหลัก นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาในสาขาดังกล่าว อาทิ Alexander Grothendieck ผู้เขียนตำรา Éléments de géométrie algébrique มักใช้คำว่า ริง แทนความหมายของริงสลับที่ และใช้คำว่า ริงที่ไม่จำเป็นต้องมีสมบัติการสลับที่ แทนความหมายของริง