สังยุค (จำนวนเชิงซ้อน)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
แผนภาพแสดงตำแหน่งของ z และ z บนระนาบจำนวนเชิงซ้อน

ในทางคณิตศาสตร์ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) เปรียบได้กับการเปลี่ยนเครื่องหมายบนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนนั้นให้เป็นตรงข้าม เช่น กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = a + ib ดังนั้นสังยุคของ z คือ
z = aib (เมื่อ a กับ b แทนจำนวนจริง)

การบ่งบอกว่าจำนวนเชิงซ้อนใดเป็นสังยุค ให้เขียนขีดเส้นตรงไว้เหนือจำนวนเชิงซ้อน หรือใส่เครื่องหมายดอกจัน (*) ไว้ที่มุมขวาบน เช่น z* แต่ในที่นี้จะใช้ขีดเพื่อไม่ให้สับสนกับสัญลักษณ์ของการสลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์ ดังตัวอย่าง

  • (3 − 2i) = 3 + 2i
  • 7 = 7 (สังยุคของจำนวนจริงได้ค่าเดิมเสมอ)
  • 5i = −5i (สังยุคของจำนวนจินตภาพได้เครื่องหมายตรงข้าม)

แนวความคิดอีกอย่างหนึ่งคือการให้จำนวนเชิงซ้อนเป็นพิกัดอยู่บนระนาบในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดยให้แกน x เป็นส่วนจริงและแกน y เป็นสัมประสิทธิ์ของ i (ส่วนจินตภาพ) ในแผนภาพทางขวามือ พิกัดของจำนวนเชิงซ้อนสังยุคเปรียบเหมือนภาพสะท้อนที่อยู่บนแกน x

คุณสมบัติ[แก้]

สังยุคมีคุณสมบัติต่างๆ บนทุกจำนวนเชิงซ้อน z และ w เว้นแต่จะกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมไว้ ดังนี้

\overline{(z + w)} = \overline{z} + \overline{w} \!
\overline{(z - w)} = \overline{z} - \overline{w} \!
\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w} \!
\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} เมื่อ w ไม่เท่ากับศูนย์
\overline{z} = z \! ก็ต่อเมื่อ z เป็นจำนวนจริง
\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|
{\left| z \right|}^2 = z\overline{z}
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2} เมื่อ z ไม่เท่ากับศูนย์ สูตรนี้เป็นวิธีการหนึ่งสำหรับคำนวณหาอินเวิร์สของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่บนพิกัดคาร์ทีเซียน
\exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)}\,\!
\log(\overline{z}) = \overline{\log(z)}\,\! เมื่อ z ไม่เท่ากับศูนย์

สำหรับฟังก์ชัน \phi\, ที่เป็นฟังก์ชันฮอโลมอร์ฟิก (holomorphic function) และ \phi(z)\, มีการนิยามไว้แล้ว จะได้

\phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)}\,\!