การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ คือการขยายการดำเนินการทวิภาคบนเซต S ไปยังฟังก์ชันบนลำดับจำกัด ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกของ S ด้วยวิธีดำเนินการวนซ้ำ ตัวอย่างของการดำเนินการทวิภาควนซ้ำเช่น การขยายการบวก ไปเป็นการดำเนินการผลรวม (summation) และการขยายการคูณ ไปเป็นการดำเนินการผลคูณ (product) สำหรับการดำเนินการอย่างอื่นก็สามารถวนซ้ำได้ อาทิยูเนียนและอินเตอร์เซกชันของเซต แต่การดำเนินการเหล่านั้นก็ไม่มีชื่อเรียกให้ต่างออกไป ผลรวมและผลคูณสามารถนำเสนอได้ด้วยสัญลักษณ์พิเศษในการพิมพ์ แต่สำหรับการดำเนินการทวิภาควนซ้ำอย่างอื่นจะใช้สัญลักษณ์ที่มีขนาดใหญ่ขึ้นแทนตัวดำเนินการธรรมดา ดังนั้นการวนซ้ำของการดำเนินการสี่อย่างข้างต้นจึงสามารถเขียนแทนได้เป็น

$\sum,\ \prod,\ \bigcup,\ \bigcap$ ตามลำดับ

ในกรณีทั่วไป มีหลายวิธีการที่จะขยายการดำเนินการทวิภาคเพื่อที่จะนำไปใช้บนลำดับจำกัด ขึ้นอยู่กับว่าตัวดำเนินการนั้นมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่หรือไม่ และมีสมาชิกเอกลักษณ์หรือไม่

นิยาม

กำหนดสัญลักษณ์ $\mathbf{a}_{j,k}$ (ตัวหนา) หมายถึงลำดับจำกัดที่มีสมาชิกตั้งแต่ตัวที่ j ถึงตัวที่ k โดยที่ 0 ≤ j ≤ k ซึ่งมีสมาชิกจำนวน (k − j) ตัวและเป็นสมาชิกในเซต S และกำหนดให้สมาชิกตัวที่ i (a_i) มีค่าอยู่ระหว่าง j กับ k นั่นคือ j ≤ i < k (ดังนั้นถ้าหาก k = j ลำดับนั้นจะว่างเปล่า)

กำหนดฟังก์ชัน f : S × S นิยามฟังก์ชันใหม่ F_l บนลำดับจำกัดที่ไม่เป็นลำดับว่าง ที่มีสมาชิกในเซต S คือฟังก์ชันวนซ้ำข้างซ้าย

$F_l(\mathbf{a}_{0,k})= \begin{cases} a_0, &k=1\\ f(F_l(\mathbf{a}_{0,k-1}), a_k), &k>1 \end{cases}$

และนิยามทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชันใหม่ F_r คือฟังก์ชันวนซ้ำข้างขวา

$F_r(\mathbf{a}_{0,k})= \begin{cases} a_0, &k=1\\ f(a_0, F_r(\mathbf{a}_{1,k})), &k>1 \end{cases}$

ถ้าหาก f มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ดังนั้น F_l = F_r เป็นฟังก์ชันหรือการดำเนินการทวิภาคที่วนซ้ำได้ทั้งสองข้าง

ถ้า f มีเอกลักษณ์ซ้ายเพียงตัวเดียวคือ e ดังนั้นนิยามของ F_l สามารถปรับเปลี่ยนให้สามารถใช้ได้บนลำดับว่าง โดยนิยามให้ค่าของ F_l บนลำดับว่างเท่ากับ e ทำนองเดียวกันกับ F_r เมื่อ f มีเอกลักษณ์ขวาเพียงตัวเดียว ตัวอย่างเช่น ผลรวมว่างและผลคูณว่าง จะมีค่าเท่ากับ 0 และ 1 ซึ่งเป็นเอกลักษณ์การบวกและการคูณตามลำดับ

ดูเพิ่ม

• อนุกรมอนันต์
• ผลคูณอนันต์
• เศษส่วนต่อเนื่อง