มัธยฐาน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
สำหรับความหมายอื่น ดูที่ มัธยฐานในทางเรขาคณิต

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติศาสตร์ มัธยฐาน คือการวัดแนวโน้มสู่ส่วนกลางชนิดหนึ่ง ที่ใช้อธิบายจำนวนหนึ่งจำนวนที่แบ่งข้อมูลตัวอย่าง หรือประชากร หรือการแจกแจงความน่าจะเป็น ออกเป็นครึ่งส่วนบนกับครึ่งส่วนล่าง มัธยฐานของรายการข้อมูลขนาดจำกัด สามารถหาได้โดยการเรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปมาก (หรือมากไปน้อยก็ได้) แล้วถือเอาตัวเลขที่อยู่ตรงกลางเป็นค่ามัธยฐาน ถ้าหากจำนวนสิ่งที่สังเกตการณ์เป็นจำนวนคู่ ทำให้ค่าที่อยู่ตรงกลางมีสองค่า ดังนั้นเรามักจะหามัชฌิม (mean) ของสองจำนวนนั้นเพื่อให้ได้มัธยฐานเพียงหนึ่งเดียว

ตัวอย่าง[แก้]

กำหนดให้ชุดข้อมูลหนึ่งมีข้อมูลเป็น (6, 5, 6, 8, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 7) ซึ่งมีข้อมูล 11 ตัว สามารถเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้ (2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8) ดังนั้นเราจะได้มัธยฐานคือ 4 ซึ่งอยู่กึ่งกลางของการเรียงลำดับข้อมูล

และสำหรับชุดข้อมูล (6, 5, 6, 8, 2, 2, 3, 2, 4, 2) ซึ่งมีข้อมูล 10 ตัว สามารถเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้ (2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 8) ค่ากึ่งกลางมีสองค่าคือ 3 และ 4 ดังนั้นจึงต้องหามัชฌิมของสองตัวนี้ ซึ่งในกรณีนี้จะใช้มัชฌิมเลขคณิต ดังนั้นมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ (3 + 4) / 2 = 3.5

มัธยฐานในการแจกแจงความน่าจะเป็น[แก้]

สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นใดๆ บนเส้นจำนวนจริงด้วยฟังก์ชันการแจกแจงสะสม F โดยไม่สนใจว่าจะเป็นการแจกแจงต่อเนื่องหรือไม่ มัธยฐาน m คือค่าที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง

\operatorname{P}(X\leq m) \geq \frac{1}{2} \leq \operatorname{P}(X\geq m) \!

หรือ

\int_{-\infty}^m \mathrm{d}F(x) \geq \frac{1}{2} \leq \int_m^{\infty} \mathrm{d}F(x) \!

มัธยฐานของการแจกแจงอื่น ๆ[แก้]

  • การแจกแจงปรกติ (normal distribution) โดยมีมัชฌิม μ และความแปรปรวน σ2 มัธยฐานจะมีค่าเท่ากับ μ ซึ่งในความเป็นจริง การแจกแจงปรกติจะมีความสัมพันธ์ว่า มัชฌิม = มัธยฐาน = ฐานนิยม
  • การแจกแจงเอกรูป (uniform distribution) ในช่วง [a, b] จะได้มัธยฐานเท่ากับ (a + b) / 2 ซึ่งมีค่าเท่ากับมัชฌิม
  • การแจกแจงโคชี (Cauchy distribution) โดยมีพารามิเตอร์บ่งตำแหน่ง x0 และพารามิเตอร์บ่งขนาด y มัธยฐานจะมีค่าเท่ากับ x0
  • การแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง (exponential distribution) โดยมีพารามิเตอร์บ่งขนาด λ จะได้มัธยฐานเท่ากับ \tfrac{1}{\lambda} \ln(2)
  • การแจกแจงไวบุลล์ (Weibull distribution) โดยมีพารามิเตอร์บ่งรูปร่าง k และพารามิเตอร์บ่งขนาด λ มัธยฐานจะมีค่าเท่ากับ \tfrac{1}{\lambda} [ \ln(2) ]^{1/k}