ฟองน้ำเมงเงอร์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ฟองน้ำเมงเงอร์

ฟองน้ำเมงเงอร์ (อังกฤษ: Menger sponge) คือชื่อเรียกของแฟร็กทัลอย่างหนึ่งที่เป็นส่วนขยายในสามมิติของเซตคันทอร์ (Cantor set) กับพรมเซียร์พินสกี (Sierpinski carpet) ซึ่งบางตำราอาจเรียกว่า ฟองน้ำเมงเงอร์-เซียร์พินสกี หรือ ฟองน้ำเซียร์พินสกี และหมายรวมไปถึงแฟร็กทัลหรือกราฟที่เป็นซับเซตของฟองน้ำเมงเงอร์ด้วย เหตุที่เรียกว่าฟองน้ำคือแฟร็กทัลในสามมิตินี้มีรูพรุนทั่วทั้งวัตถุคล้ายฟองน้ำ คาร์ล เมงเงอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย เป็นผู้อธิบายโครงสร้างและลักษณะของแฟร็กทัลชนิดนี้เป็นครั้งแรกใน ค.ศ. 1926

การสร้างฟองน้ำเมงเงอร์[แก้]

การสร้างฟองน้ำเมงเงอร์สามารถอธิบายได้ดังนี้

  1. เริ่มต้นจากทรงลูกบาศก์ (รูปแรก) เป็นฟองน้ำเมงเงอร์ระดับศูนย์
  2. แบ่งย่อยแต่ละหน้าออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 9 รูป ซึ่งทำให้ทรงลูกบาศก์ถูกแบ่งออกเป็น 27 ชิ้นย่อย คล้ายลูกบาศก์ของรูบิค
  3. นำทรงลูกบาศก์ย่อยที่อยู่ตรงกลางของทุกหน้าออก รวมทั้งชิ้นที่อยู่ตรงกลางภายใน เหลือไว้เพียง 20 ชิ้น เป็นฟองน้ำเมงเงอร์ระดับหนึ่ง (รูปที่สอง)
  4. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 ถึง 3 กับทรงลูกบาศก์ย่อยที่เหลือ

การทำซ้ำรอบสองจะได้ฟองน้ำระดับสอง (รูปที่สาม) รอบสามจะได้ฟองน้ำระดับสาม (รูปที่สี่) เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ

ฟองน้ำเมงเงอร์ระดับศูนย์ถึงสาม

จำนวนชิ้นของทรงลูกบาศก์จะเพิ่มทีละ 20 เท่าจากระดับก่อนหน้า หรืออธิบายได้จาก 20^n เมื่อ n คือจำนวนรอบของการทำซ้ำ ในข้อแรกซึ่งยังไม่มีการวนรอบ จะมีทรงลูกบาศก์เพียงชิ้นเดียว (20^0 = 1)

รอบ จำนวน ผลรวม
0 1 1
1 20 21
2 400 421
3 8,000 8,421
4 160,000 168,421
5 3,200,000 3,368,421
6 64,000,000 67,368,421

นิยามทั่วไป[แก้]

ฟองน้ำเมงเงอร์สามารถนิยามได้จาก

M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n

เมื่อ M_0 คือทรงลูกบาศก์หนึ่งหน่วย และ

M_{n+1} := \left\{\begin{matrix}
(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: & 
\begin{matrix}\exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n
\\ \mbox{and at most one of }i,j,k\mbox{ is equal to 1}\end{matrix}
\end{matrix}\right\}

ดังนั้นฟองน้ำเมงเงอร์ในระดับอนันต์ จึงมีพื้นที่ผิวเป็นอนันต์ จำนวนหน้าเป็นอนันต์ และมีปริมาตรเป็นศูนย์

อ้างอิง[แก้]

  • Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  • Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]