จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ปัญหาบาเซิล เป็นปัญหาทางคณิตวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน ปัญหานี้ถูกตั้งขึ้นครั้งแรกโดย ปิเอโตร เมนโกลี ในปี พ.ศ. 2187 และถูกแก้โดย เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ในปี พ.ศ. 2277[1] ปัญหานี้ได้ตั้งชื่อตามชื่อของเมืองบาเซิล บ้านเกิดของออยเลอร์
ปัญหาดังกล่าวเกี่ยวกับการหาผลรวมของอนุกรม
ผลรวมของอนุกรมดังกล่าวมีค่าประมาณ 1.644934 ปัญหาบาเซิลถามถึงการหาค่าที่แม่นยำในรูปแบบปิดของผลรวมดังกล่าว ออยเลอร์ค้นพบว่าผลรวมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ π2/6 และได้ประกาศการค้นพบในปี พ.ศ. 2277
วิธีการหาผลรวมของออยเลอร์[แก้]
วิธีการของออยเลอร์ มาจากการพิจารณาคุณสมบัติบางประการของพหุนามจำกัด แลัวสมมุติว่าคุณสมบัติเหล่านี้ยังคงเป็นจริงในกรณีอนันต์ หรืออนุกรมกำลัง
ออยเลอร์เริ่มต้นด้วยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ของฟังก์ชันไซน์:
ซึ่งออยเลอร์มองฝั่งขวาเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์ แล้วใช้คุณสมบัติที่ว่าพหุนามใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณของตัวประกอบดีกรีหนึ่งได้ ซึ่งรากของฟังก์ชันไซน์อยู่ที่ จึงได้เป็นผลคูณว่า
หรือเขียนอีกแบบได้เป็น
ซึ่งจากสมบัติว่า เมื่อ แสดงว่า ดังนั้น
จับสัมประสิทธิ์ของ ทั้งสองข้างมาเท่ากัน จะได้ว่า
สรุปได้ว่า เป็นผลรวมของอนุกรม[2]
อ้างอิง[แก้]
แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]
- A013661 จาก The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences®