จำนวนฟีโบนัชชี

การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี

จำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci number) คือจำนวนต่าง ๆ ที่อยู่ในลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... (ลำดับ  A000045)

โดยมีนิยามของความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ และลำดับของจำนวนดังกล่าวก็จะเรียกว่า ลำดับฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci sequence)

หากเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ลำดับ F_n ของจำนวนฟีโบนัชชีนิยามขึ้นด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\!$

โดยกำหนดค่าเริ่มแรกให้

$F_0 = 0;\; F_1 = 1$

ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13

รูปปิด

เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดเชิงเส้น เราจึงสามารถหารูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า สูตรของบิเนต์ มีดังต่อไปนี้

$F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}$

โดย $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1.618$ เป็นตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าอัตราส่วนทองคำ

การพิสูจน์:

พิจารณาสมการพหุนาม $x^2=x+1$ เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย $x^{n-1}$ เราได้ว่า

$x^{n+1} = x^n + x^{n-1}\,$

ผลเฉลยของสมการ $x^2=x+1$ ได้แก่ $\varphi$ และ $1-\varphi$ ดังนั้น

$\varphi^{n+1} \,$	= $\varphi^n + \varphi^{n-1}\,$ และ
$(1-\varphi)^{n+1}\,$	= $(1-\varphi)^n + (1-\varphi)^{n-1}\,$

พิจารณาฟังก์ชัน

$F_{a,b}(n) = a\varphi^n+b(1-\varphi)^n$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงใดๆ

เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนบังเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี

$F_{a,b}(n+1)\,$	$= a\varphi^{n+1}+b(1-\varphi)^{n+1}$
	$=a(\varphi^{n}+\varphi^{n-1})+b((1-\varphi)^{n}+(1-\varphi)^{n-1})$
	$=a{\varphi^{n}+b(1-\varphi)^{n}}+a{\varphi^{n-1}+b(1-\varphi)^{n-1}}$
	$=F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)\,$

เลือก $a=1/\sqrt 5$ and $b=-1/\sqrt 5$ เราได้ว่า

$F_{a,b}(0)=\frac{1}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}=0=F(0)\,\!$

และ

$F_{a,b}(1)=\frac{\varphi}{\sqrt 5}-\frac{(1-\varphi)}{\sqrt 5}=\frac{-1+2\varphi}{\sqrt 5}=\frac{-1+(1+\sqrt 5)}{\sqrt 5}=1=F(1)$

เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นฐานของการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของข้อความ $F_{a,b}(n) = F(n)$ และใช้เอกลักษณ์ของ $F_{a,b}$ พิสูจน์กรณีอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า

$F(n)={{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}$ สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $n$ ทุกตัว

เนื่องจาก $|1-\varphi|^n/\sqrt 5 < 1/2$ สำหรับทุกๆ $n>0\,\!$ เราจึงได้ว่า $F_n\,\!$ จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ $\varphi^n/\sqrt 5$ ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function) ได้ว่า

$F(n)=\bigg\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \frac{1}{2}\bigg\rfloor$

ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ

โยฮันน์ เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนัชชีที่ติดกันลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ กล่าวคือ

$\frac{F(n+1)}{F(n)}$ ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ $\varphi$

การพิสูจน์:

สำหรับจำนวนจริง $a \ne 0, b \ne 0$ เราได้ว่า

$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{a,b}(n+1)}{F_{a,b}(n)}$	$=\lim_{n\to\infty}\frac{a\varphi^{n+1}-b(1-\varphi)^{n+1}}{a\varphi^n-b(1-\varphi)^n}$
	$=\lim_{n\to\infty}\frac{a\varphi-b(1-\varphi)(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n}{a-b(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n}$
	$= \varphi$,

เนื่องจาก $\left |{\frac{1-\varphi}{\varphi}}\right | < 1$ ดังนั้น $\lim_{n\to\infty}(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n=0$

เนื่องจากจำนวนฟีโบนัชชีคือ $F_{a,b}$ เมื่อ $a = 1/\sqrt{5}$ และ $b = -1/\sqrt{5}$ ลิมิตของอัตราส่วนของเลขฟีโบนัชชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย

รูปเมทริกซ์

ระบบสมการความแตกต่างเชิงเส้นที่อธิบายลำดับฟีโบนัชชีได้คือ

$\begin{align} {F_{k+2} \choose F_{k+1}} &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} {F_{k+1} \choose F_{k}} \\ \vec F_{k+1} &= A \vec F_{k} \end{align}$

และมีรูปปิดคือ

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}.$

ด้วยรูปปิดดังกล่าว การคำนวณค่าฟีโบนัชชีจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้จำนวนการดำเนินการเลขคณิต O(log n) หรือใช้เวลา O(M(n) log(n)) โดยที่ M(n) คือเวลาในการคูณเลข n หลัก 2 ตัว โดยใช้วิธียกกำลังโดยการยกกำลังสอง กล่าวคือ

$x^n= \begin{cases} x \, ( x^{2})^{\frac{n - 1}{2}}, & \mbox{if } n \mbox{ is odd} \\ (x^{2})^{\frac{n}{2}} , & \mbox{if } n \mbox{ is even}. \end{cases}$

เมื่อให้ x เป็นเมทริกซ์ จึงสามารถหาค่า F_n ได้ในเวลาที่กล่าวไว้แล้ว

ลำดับฟิโบนัชชีในธรรมชาติ

สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูป มุม A = มุม B = มุม C เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก

นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34 ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชี

การนำไปใช้

จำนวนฟีโบนัชชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน

ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ท

จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ

ตัวกำเนิดจำนวนสุ่มเทียมบางตัวใช้จำนวนฟีโบนัชชีเป็นเครื่องมือในการสร้างเลขสุ่ม

จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ได้แก่ เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา ของ เบลา บาท็อก, และเพลงแลเทอราทัส ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")