แม็ปลอจิสติก

แม็ปลอจิสติก ที่ r > 3.57

แม็ปลอจิสติก (อังกฤษ: Logistic Map) เป็น แม็ป(ฟังก์ชัน ที่มี โดเมน และ เรนจ์ อยู่ในปริภูมิเดียวกัน) พหุนาม นิยมใช้เป็นตัวอย่างของระบบพลวัตไม่เป็นเชิงเส้นอย่างง่ายที่สามารถแสดงพฤติกรรมความอลวนได้ แม็ปลอจิสติกนี้เริ่มเป็นที่รู้จักกว้างขวางจากผลงานตีพิมพ์ของนักชีววิทยา โรเบิร์ต เมย์ (Robert May) แรกเริ่มนั้น แม็ปลอจิสติกนี้ถูกสร้างขึ้นโดย ปิแอร์ ฟรองซัว เวอฮัลสท์ (Pierre François Verhulst) เพื่อเป็นแบบจำลองการกระจายปริมาณประชากรมนุษย์ ต่อมาถูกนำไปใช้สำหรับ การเพิ่มปริมาณประชากรของสปีชีส์อื่นๆ ภายใต้สภาวะแวดล้อมจำกัด เช่น อาหาร, โรค, และ อื่นๆ ซึ่งแบบจำลองจะมีพฤติกรรมจากผลของ :

1. การสืบพันธุ์ คือ จำนวนประชากร จะเพิ่มขึ้นด้วยอัตราที่แปรผันตามจำนวนประชากรในขณะนั้น
2. การขาดอาหาร คือ จำนวนประชากรจะลดลงด้วยอัตรา ที่แปรผันตาม จำนวนประชากรที่สภาพแวดล้อมนั้นสามารถรองรับได้ในทางทฤษฎี ลบออกด้วยค่าจำนวนประชากรในขณะนั้น

ซึ่งสามารถเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ดังนี้

$\qquad x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$

โดยที่:

$x_{n}\in \left[0,1\right]$, ใช้หมายถึงปริมาณประชากร ที่ปี n, และ x₀ หมายถึงปริมาณประชากรเริ่มต้น(ที่ปี 0)

r เป็นจำนวนบวก ใช้หมายถึง ค่าผลรวมของอัตรา การสืบพันธุ์ และ การขาดอาหาร

พฤติกรรมตามค่า r

แผนผังไบเฟอร์เคชัน ของแม็ปลอจิสติก

พฤติกรรมของระบบ ที่ค่าพารามิเตอร์ r ต่างๆ

• $0\leq r\leq 1$, ประชากรจะตายไปจนหมดโดยไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้น โดยระบบมีจุดตายตัว (fixed point) เพียงจุดเดียวที่ $x=0$ ซึ่งเป็นจุดตายตัวแบบดึงดูด(attracting fixed point) หรือ เรียกว่า "จุดดูดซับ" (sink) และดึงดูดค่าเริ่มต้นทุกค่าใน [0,1]
• $1<r\leq 3$, ระบบมีจุดตายตัว 2 จุดคือที่ $x=0$ และ $x=(r-1)/r$ โดยที่ $x=0$ เป็นจุดตายตัวแบบผลักออก(repelling fixed point) หรือ เรียกว่า "จุดกำเนิด" (source) และ $x=(r-1)/r$ เป็น จุดตายตัวแบบดึงดูด
  • ที่ค่า r อยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 จำนวนประชากรจะลู่เข้าหาค่า $(r-1)/r$ และคงตัวอย่างรวดเร็ว
  • ที่ค่า r อยู่ระหว่าง 2 และ 3 จำนวนประชากรจะเริ่มแกว่งก่อนลู่เข้าหาจุดดูดซับ โดยมีอัตราการลู่เข้าเป็นเชิงเส้น
  • ที่ค่า r เท่ากับ 3 อัตราการลู่เข้าจะช้ากว่าอัตราที่เป็นเชิงเส้น
• $3<r\leq 1+{\sqrt {6}}$ (ประมาณ 3.45) จำนวนประชากรจะมีค่าแกว่งสลับระหว่างค่า 2 ค่า ซึ่ง 2 ค่านี้ขึ้นกับค่า r แต่ไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้น ซึ่งก็คือ ระบบมีจุดวงรอบคาบ 2 แบบดึงดูด หรือ จุดดูดซับแบบวงรอบคาบ2
• $1+{\sqrt {6}}<r<3.54$ (โดยประมาณ) จำนวนประชากรจะมีค่าแกว่งสลับระหว่างค่า 4 ค่า ไม่ขึ้นกับค่เริ่มต้น ซึ่งก็คือ ระบบมีจุดดูดซับแบบวงรอบคาบ 4
• เมื่อค่า r มีค่าเพิ่มมากกว่า 3.54 จำนวนประชากรจะมีค่าแกว่งสลับ เป็นวงรอบด้วยคาบ 8,16,32 และเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ช่วงการเพิ่มของค่า r ที่ส่งผลให้คาบวงรอบการแกว่งเพิ่มขึ้นจะลดลงอย่างรวดเร็ว สัดส่วนของระยะของค่าพารามิเตอร์ที่ทำให้มีการเพิ่มคาบ (หรือเรียก ช่วงระยะไบเฟอร์เคชัน) ที่อยู่ถัดกัน จะลู่เข้าหา ค่าคงที่ไฟเกนบอม (Feigenbaum constant) δ = 4.669 ซึ่งพฤติกรรมดังกล่าวนี้จะไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้นแต่อย่างใด
• ที่ค่า r= 3.57 (โดยประมาณ) เป็นจุดที่ระบบเริ่มมีพฤติกรรมความอลวน ระบบจะไม่มีพฤติกรรมการแกว่งเป็นวงรอบดังค่า r ที่ผ่านมา แต่ระบบจะมีพฤติกรรมที่ไวต่อค่าเริ่มต้นซึ่งเป็นคุณลักษณะของความอลวน ความแตกต่างเพียงเล็กน้อยของค่าจำนวนประชากรเริ่มต้น จะมีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของค่าประชากรในระยะยาว
• ค่า r ระหว่าง 3.57 และ 4 มีหลายค่าที่ระบบมีพฤติกรรมความอลวน แต่ก็ยังมีค่า r บางค่าที่ระบบไม่แสดงพฤติกรรมความอลวน ตัวอย่างเช่น ที่ r ประมาณ 3.82 จะมีบางช่วงที่ระบบมีพฤติกรรมแกว่งเป็นวงรอบคาบ 3 และที่ค่า r สูงขึ้นเล็กน้อยจะแกว่งเป็นวงรอบคาบ 6, 12 และเพิ่มขึ้นตามลำดับ และจะมีบางช่วงที่มีการแกว่งเป็นคาบ 5 และอื่นๆ ซึ่งพฤติกรรมทั้งหมดนี้จะมีการแกว่งเป็นวงรอบ และไม่ขึ้นกับค่าเริ่มต้น
• ที่ค่า r = 4 และมากกว่านั้น ค่าของระบบจะลู่ออก สำหรับทุกค่าเริ่มต้นใน [0,1]

แผนผังไบเฟอร์เคชัน (bifurcation diagram) ดังรูป แสดงให้เห็นถึงพฤติกรรมดังกล่าวข้างต้นนี้ โดยที่แกนนอนของแผนผังเป็น ค่า r และ แกนตั้งเป็นค่าจำนวนประชากร หรือค่าของระบบในระยะยาว

แผนผังไบเฟอร์เคชันนี้เป็น แฟร็กทัล ถ้าเราพิจารณาที่ค่า r = 3.82 ที่ระบบมีพฤติกรรมแกว่งเป็นวงรอบคาบ 3 เมื่อเราเลือกกิ่งหนึ่งใน 3 และขยายที่กิ่งนั้นเราจะเห็นภาพที่มีลักษณะเหมือนภาพเดิม