จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
เมทริกซ์แต่งเติม (อังกฤษ: augmented matrix) คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมกันของเมทริกซ์อื่นสองเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากัน เพื่อประโยชน์ในการคำนวณหาตัวผกผันของเมทริกซ์และการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเป็นต้น
ตัวอย่าง กำหนดให้เมทริกซ์ A และ B
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\\\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd55cf0d3d377bb486e2dbf503a58fb7ab240daf)
จะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B) เท่ากับ
![{\displaystyle (A|B)={\begin{bmatrix}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2a727377744e58919fd00bacf2ef29a53d66a5)
ตำราบางเล่มอาจใช้เส้นตรงคั่นระหว่างกลางในตัวเมทริกซ์ เพื่อแยกแยะว่าสมาชิกตัวไหนเป็นของเมทริกซ์ใด
สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เป็นเมทริกซ์เอกฐาน สามารถมีตัวผกผันได้ทุกเมทริกซ์ โดยการคำนวณผ่านเมทริกซ์แต่งเติมเป็นอีกวิธีหนึ่งที่ทำได้ เช่น กำหนดให้เมทริกซ์ C
![{\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1300459b8b0f11e5569d9c3af899ed67799366)
การหาเมทริกซ์ผกผันเริ่มจากการนำเมทริกซ์เริ่มต้น มาผนวกกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติเท่ากัน เป็นเมทริกซ์ (C|I)
![{\displaystyle (C|I)={\begin{bmatrix}1&3&1&0\\-5&0&0&1\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0048c93967b574e4e2100798bb4dfbe2d8d8c48)
แล้วใช้การดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ์ (C|I) จนกระทั่งเมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และได้ตัวผกผันของเมทริกซ์ที่ซีกขวา
![{\displaystyle (I|C^{-1})={\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\\\end{bmatrix}},\quad C^{-1}={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e760d79fd43449967b4c4a3f95f3041b2967b78)
เมทริกซ์แต่งเติมมีส่วนช่วยในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น สมการจะต้องมีจำนวนไม่ต่ำกว่าจำนวนตัวแปรของทั้งระบบสมการ เช่นตัวแปรมี 3 ตัว จำเป็นต้องใช้ 3 สมการ ดังตัวอย่าง
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}&=&0\\3x_{1}+4x_{2}+7x_{3}&=&2\\6x_{1}+5x_{2}+9x_{3}&=&11\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841075c7f6a1263dc710935feea6a3e686bf7d26)
เมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายจะประกอบไปด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่อยู่ตามลำดับ ส่วนซีกขวาเป็นค่าคงตัวของสมการนั้นๆ
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&7\\6&5&9\\\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\2\\11\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598891d8b4f5879e9cad7f90aa997ea495b97899)
เราจะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B)
![{\displaystyle (A|B)={\begin{bmatrix}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca8f800b9aaabdb1a53a0644210e6669b8cdece)
แล้วใช้การดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ์ (A|B) จนกระทั่งเมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และได้ค่าของตัวแปรแต่ละตัวที่ซีกขวา
![{\displaystyle (I|X)={\begin{bmatrix}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{bmatrix}},\quad X={\begin{bmatrix}4\\1\\-2\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f549c39085adae66368e61d454b43456f83c38b8)
![{\displaystyle \therefore x_{1}=4,\ x_{2}=1,\ x_{3}=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6661374d805c4bee8b9e12d4dac2e5ed5dfb80c3)