ในกลศาสตร์ควอนตัม สัญกรณ์บรา-เค็ท (อังกฤษ: bra–ket notation) คือ สัญกรณ์พื้นฐานที่ใช้ในการอธิบายสถานะควอนตัม แทนด้วยสัญลักษณ์ angle bracket ("
", และ "
") และ vertical bar ("
") สัญกรณ์นี้สามารถแทนได้ทั้งเวกเตอร์และเมทริกซ์ ซึ่งถูกนำเสนอโดยพอล ดิแรก (Paul Dirac) ในปี 1939 และเป็นที่รู้จักกันในชื่อ สัญกรณ์ดิแรก (Dirac notation)
ในรูปผลคูณเชิงสเกลาร์ สามารถแสดงได้ดังนี้
![{\displaystyle \langle \phi \mid \psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3bb48a95bf5c236e1ce6a7ef859ecf6f340438)
ประกอบด้วยส่วนทางขวา
เรียกว่า เวกเตอร์เค็ท (ket vector)
และส่วนทางด้านซ้าย
เรียกว่า เวกเตอร์บรา (bra vector) ซึ่งเป็นสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) ของเค็ท
สมบัติ[แก้]
สัญกรณ์บรา-เค็ทถูกคิดค้นมาเพื่อความสะดวกในการแสดง state function หรือ state vector สามารถหาสมบัติบางประการ โดยกำหนดให้
c1 และ c2 แทน จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ
c∗ แทน สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน c
A แทน B แทน ตัวดำเนินการเชิงเส้นใด ๆ
ความเป็นเชิงเส้น[แก้]
เนื่องจากบรา เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear functional)
![{\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26369629eefcd8a7d77610a05a472c2882710aa7)
จากนิยามการบวกและการคูณสเกลาร์ของฟังก์ชันเชิงเส้น
![{\displaystyle {\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ba99d33d5356463ff250bd865433139ab36e4c)
สมบัติการเปลี่ยนหมู่[แก้]
เป็นการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงซ้อน, บรา, เค็ท, ผลคูณภายใน (inner product), ผลคูณภายนอก (outer product) และตัวดำเนินการเชิงเส้น โดยสามารถเขียนในรูปสัญกรณ์บรา-เค็ทได้ดังนี้
![{\displaystyle \langle \psi |(A|\phi \rangle )=(\langle \psi |A)|\phi \rangle \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8458b82d0acd56659e1aec8fe23167942c6b1d0a)
![{\displaystyle (A|\psi \rangle )\langle \phi |=A(|\psi \rangle \langle \phi |)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9a3989208b2f64a94ca2be655d825a74cb8af4)
สังยุคเอร์มีเชียน[แก้]
สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugation) แทนด้วยสัญลักษณ์ † มีกฎต่าง ๆ ดังนี้
- สังยุคเอร์มีเชียนของบรา คือ เค็ท
- สังยุคเอร์มีเชียนของจำนวนเชิงซ้อน คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน
- สังยุคเอร์มีเชียนของสังยุคเอร์มีเชียนใด ๆ คือ ตัวมันเอง ยกตัวอย่างเช่น :(x†)† = x
จากกฎต่าง ๆ สามารถแสดงสมบัติบางประการของสังยุคเอร์มีเชียนได้ดังนี้
- ผลคูณภายใน (Inner products)
(
เป็นสเกลาร์ ดังนั้น สังยุคเอร์มีเชียน ก็คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน
)
- ผลคูณภายนอก (Outer products)
ตัวดำเนินการเชิงเส้น[แก้]
ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อเค็ท[แก้]
ตัวดำเนินการเชิงเส้น (linear operators) ที่กระทำต่อเค็ทและได้ผลเป็น เค็ท เราจะสามารถกล่าวได้ว่าตัวดำเนินการนั้นเป็น “เชิงเส้น” ได้ เมื่อตัวดำเนินการนั้นมีสมบัติที่แน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า ถ้าให้
เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ
เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าเค็ท จะได้ว่า เมื่อ
กระทำต่อ
จะทำให้ได้
เป็นสถานะใหม่ขึ้นมา
ตัวดำเนินการเชิงเส้นถูกใช้อย่างมากในวิชากลศาสตร์ควอนตัม ใน Hilbert space ที่มีจำนวน
มิติ สถานะ
สามารถเขียนในรูปของคอลัมน์เวกเตอร์
มิติ ส่วนตัวดำเนินการ
จะอยู่ในรูปเมริกซ์
มิติ โดยที่
สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์
ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อบรา[แก้]
ตัวดำเนินการจะกระทำจากทางด้านขวาของบรา ถ้าให้
เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ
เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าบรา ซึ่ง
จะเป็นสถานะใหม่ที่ถูกนิยามตามสมการ
![{\displaystyle {\bigg (}\langle \phi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \phi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfb063f613272617b9ada7008f44a40cbab5c82)
ใน Hilbert space ที่มีจำนวน N มิติ สถานะ
สามารถเขียนในรูปของแถวเวกเตอร์
มิติ ส่วนตัวดำเนินการ
จะอยู่ในรูปเมริกซ์
มิติ โดยที่
สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์ และถ้าสถานะของเวกเตอร์อยู่ในรูปของสัญกรณ์บราและเค็ทจะเขียนได้เป็น
![{\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c803cd26a13294be28847786f7335805db2f819e)
ผลที่ออกมาจะแสดงผลของปริมาณที่เรียกว่า ค่าคาดหวัง หรือค่าเฉลี่ย
Outer products[แก้]
วิธีที่จะนิยามตัวดำเนินการเชิงเส้นใน Hilbert space จะใช้ outer product โดยถ้าให้
และ
เป็นสถานะที่เรียกว่าบราและเค็ทตามลำดับ จะเขียน outer product เป็น ![{\displaystyle |\psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e)
ซึ่งจะแสดงตัวดำเนินการที่เรียกว่า rank-one operator เป็นไปตามสมการ
![{\displaystyle (|\phi \rangle \langle \psi |)(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c652e7d373c15a887a385f08f488fc492817b92)
สำหรับ vector space มิติจำกัดสามารถเขียนในรูปของการคูณแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้
![{\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |{\doteq \!\,}{\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947e1eb0affe8e804eb841e118ca302a698adcdc)
ซึ่ง outer product ของตัวดำเนินการจะได้ออกมาเป็นเมทริกซ์ N× N มิติ