สมบัติการแจกแจง

ในทางคณิตศาสตร์ สมบัติการแจกแจง (อังกฤษ: distributivity) คือสมบัติหนึ่งที่สามารถมีได้บนการดำเนินการทวิภาค ซึ่งเป็นกรณีทั่วไปของกฎการแจกแจงจากพีชคณิตมูลฐาน ตัวอย่างเช่น

2 × (1 + 3) = (2 × 1) + (2 × 3) = 8

ข้างซ้ายของสมการข้างต้น 2 คูณเข้ากับผลบวกของ 1 กับ 3 ส่วนข้างขวา 2 คูณเข้ากับ 1 และ 3 แต่ละตัวแยกกัน แล้วค่อยนำผลคูณเข้ามาบวก เนื่องจากตัวอย่างข้างต้นให้ผลลัพธ์เท่ากันคือ 8 เราจึงกล่าวว่า การคูณด้วย 2 แจกแจงได้ (distribute) บนการบวกของ 1 กับ 3

เราสามารถแทนที่จำนวนเหล่านั้นด้วยจำนวนจริงใดๆ แล้วทำให้สมการยังคงเป็นจริง เราจึงกล่าวว่า การคูณของจำนวนจริง แจกแจงได้บนการบวกของจำนวนจริง สมบัติการแจกแจงจึงต้องเกี่ยวข้องกับการดำเนินการสองชนิด

นิยาม

กำหนดให้การดำเนินการทวิภาค · และ + บนเซต S และ x, y, z เป็นสมาชิกใดๆ ของเซต S

• การดำเนินการ · จะเป็นการดำเนินการ แจกแจงข้างซ้าย บนการดำเนินการ + ถ้า

  $x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)\,$

• การดำเนินการ · จะเป็นการดำเนินการ แจกแจงข้างขวา บนการดำเนินการ + ถ้า

  $(y+z)\cdot x=(y\cdot x)+(z\cdot x)\,$

• การดำเนินการ · จะเป็นการดำเนินการ แจกแจง (distributive) บนการดำเนินการ + ถ้าสามารถแจกแจงได้ทั้งข้างซ้ายและข้างขวา

การดำเนินการ · และ + มิได้หมายความว่าจะต้องเป็นแค่การคูณกับการบวกเท่านั้น แต่หมายถึงการดำเนินการใดๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น โปรดสังเกตว่าเมื่อการดำเนินการ · มีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นเงื่อนไขทั้งสามข้างต้นจะเทียบเท่ากันโดยตรรกะ

ตัวอย่าง

• การคูณของจำนวนแจกแจงได้บนการบวก ซึ่งใช้ได้กับจำนวนหลายชนิดตั้งแต่จำนวนธรรมชาติไปจนถึงจำนวนเชิงซ้อนและจำนวนเชิงการนับ (cardinal number)
• ในทางตรงข้าม การคูณของจำนวนเชิงอันดับที่ (ordinal number) แจกแจงทางซ้ายได้อย่างเดียวบนการบวก ไม่แจกแจงข้างขวา
• การคูณเมทริกซ์แจกแจงได้ทั้งข้างซ้ายและข้างขวาบนการบวก แต่ผลที่ได้ไม่เท่ากัน (สลับที่ไม่ได้)
• ยูเนียนของเซตแจกแจงได้บนอินเตอร์เซกชัน และอินเตอร์เซกชันก็แจกแจงได้บนยูเนียน นอกจากนั้นอินเตอร์เซกชันก็แจกแจงได้บนผลต่างสมมาตรของเซต (symmetric difference)
• ในทางตรรกศาสตร์ การเลือก (disjunction "or") แจกแจงได้บนการเชื่อม (conjunction "and") และการเชื่อมก็สามารถแจกแจงได้บนการเลือก นอกจากนั้นการเชื่อมก็แจกแจงได้บนการเลือกเฉพาะ (exclusive disjunction "xor")