ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ลำดับเลขคณิต"
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
||
บรรทัด 25: | บรรทัด 25: | ||
::<math>a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) }</math> |
::<math>a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) }</math> |
||
โดยที่สัญลักษณ์ <math>x^{\overline{n}}</math> หมายถึง[[ |
โดยที่สัญลักษณ์ <math>x^{\overline{n}}</math> หมายถึง[[ผลคูณลำดับเพิ่ม]] (rising sequential product) และ <math>\Gamma (x)</math> แทน[[ฟังก์ชันแกมมา]] อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ <math>a_1/d</math> เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์ |
||
นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของการก้าวหน้าเลขคณิต 1 × 2 × ... × ''n'' ที่ได้นิยามไว้แล้วใน[[แฟกทอเรียล]] ''n''! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้ |
นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของการก้าวหน้าเลขคณิต 1 × 2 × ... × ''n'' ที่ได้นิยามไว้แล้วใน[[แฟกทอเรียล]] ''n''! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้ |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 18:25, 9 มกราคม 2552
ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic progression) หรือ ลำดับเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งมีผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัว ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นการก้าวหน้าเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2
ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ a1 และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ d ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ
หรือในกรณีทั่วไป จะได้
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด
ผลรวม
ผลรวมของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic series) ซึ่งสามารถนำเสนอได้สองแบบ ได้แก่
รวมสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ d จะหายไป และเหลือเพียง
จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า ดังนั้นเราจะได้
มีเรื่องเล่ากันว่าเกาส์ได้ค้นพบสูตรนี้ เมื่อครูของเขาสั่งให้ทั้งห้องหาผลบวกของจำนวน 1 ถึง 100 และเขาก็ตอบอย่างรวดเร็วว่า 5,050[ต้องการอ้างอิง]
ผลคูณ
ผลคูณของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต โดยเริ่มตั้งแต่พจน์ a1 ไปถึง an ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ d สามารถคำนวณได้จาก
โดยที่สัญลักษณ์ หมายถึงผลคูณลำดับเพิ่ม (rising sequential product) และ แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์
นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของการก้าวหน้าเลขคณิต 1 × 2 × ... × n ที่ได้นิยามไว้แล้วในแฟกทอเรียล n! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้
จะมีค่าเท่ากับ
โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
อ้างอิง
- Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.