ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ
บทความนี้ไม่มีการอ้างอิงจากแหล่งที่มาใด |
ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (อังกฤษ: Product measure) ในทฤษฎีเมเชอร์ กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่า "ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ" (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้างเซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณจากสองปริภูมิทอพอโลยีนั่นเอง
นิยามทางคณิตศาสตร์
[แก้]กำหนด และ เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ ดังนี้
- คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ และ
- พีชคณิตซิกมาผลคูณ: คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี เป็นสมาชิก โดย และ .
- เมเชอร์ผลคูณ: นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ
- เมื่อ
โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ
สำหรับทุก ๆ เซตหาเมเชอร์ได้ E โดย Ex = {y∈X2| (x,y) ∈E}, และ Ey = {x∈X1| (x,y) ∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.