ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (อังกฤษ: Product measure) ในทฤษฎีเมเชอร์ กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่า "ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ" (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้างเซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณจากสองปริภูมิทอพอโลยีนั่นเอง

นิยามทางคณิตศาสตร์[แก้]

กำหนด และ เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ ดังนี้

  1. คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ และ
  2. พีชคณิตซิกมาผลคูณ: คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี เป็นสมาชิก โดย และ .
  3. เมเชอร์ผลคูณ: นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ
เมื่อ

โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ

สำหรับทุก ๆ เซตหาเมเชอร์ได้ E โดย Ex = {yX2| (x,y) ∈E}, และ Ey = {xX1| (x,y) ∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.