ปรากฏการณ์เซมัน

Zeeman splitting of the 5s level of Rb-87, including fine structure and hyperfine structure splitting. Here F = J + I, where I is the nuclear spin. (for Rb-87, I = 3/2)

ปรากฏการณ์เซมัน (อังกฤษ: Zeeman Effect) เป็นปรากฏการณ์ที่ถูกตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวเนเธอร์แลนด์ ชื่อ ปีเตอร์ เซมัน (Pieter Zeeman) โดยปรากฏการณ์นี้จะเกิดการแยกเส้นสเปกตรัมเมื่อให้สนามแม่เหล็กคงที่แก่แหล่งกำเนิดแสง ซึ่งคล้ายคลึงกับปรากฏการณ์สตาร์ค (Stark Effect) ที่สนามไฟฟ้าทำให้เกิดการแยกเส้นสเปกตรัม

เนื่องจากระยะห่างระหว่าง Zeeman sub-levels เป็นฟังก์ชันของสนามแม่เหล็ก ดังนั้น ปรากฏการณ์นี้จึงถูกใช้ในการวัดสนามแม่เหล็ก ยกตัวอย่างเช่น สนามแม่เหล็กของดวงอาทิตย์และดาวอื่น ๆ หรือในห้องปฏิบัติการทางพลาสมา ปรากฏการณ์เซมันมีความสำคัญมากในการนำไปประยุกต์ใช้งาน เช่น สเปกโตรสโกปชนิด nuclear magnetic resonance (NMR), สเปกโตรสโกปชนิด electron spin resonance และเครื่อง MRI (magnetic resonance imaging) นอกจากนี้ยังสามารถใช้ในการปรับปรุงความแม่นยำในการดูดซับอะตอมของสเปกโตรสโกป

ศัพท์เฉพาะสำหรับปรากฏการณ์เซมัน

ตามประวัติศาสตร์ ปรากฏการณ์ซีมันแบบ normal และแบบ anomalous มีความแตกต่างกัน ซึ่งปรากฏการณ์เหล่านี้ถูกค้นพบโดย โทมัส เพรสตัน (Thomas Preston) ที่เมืองดับลิน (Dublin) ซึ่งเป็นเมืองหลวงและเมืองที่ใหญ่ที่สุดของสาธารณรัฐไอร์แลนด์ (Ireland) ปรากฏการณ์ซีมันแบบ anomalous ปรากฏเมื่ออิเล็กตรอนมีการเปลี่ยนระดับพลังงาน โดยอิเล็กตรอนมีสปินเป็นเลขคี่จำนวนครึ่ง ดังนั้นระดับพลังงานย่อยของซีมันจึงเป็นจำนวนคู่ ที่เราเรียกชื่อปรากฏการณ์นี้ว่า anomalous เนื่องจากในขณะที่ซีมันทำการศึกษาเกี่ยวกับปรากฏการณ์นี้ ยังไม่มีการค้นพบสปินของอิเล็กตรอน และยังไม่มีคำอธิบายเกี่ยวกับสปินที่ดีพอ เราจึงเรียกปรากฏการณ์นี้ว่าเป็นแบบ anomalous

เมื่อเราพิจารณากรณีที่ความเข้มของสนามแม่เหล็กมีค่าสูงขึ้น เมื่อเปรียบเทียบความเข้มของสนามภายนอกและความเข้มของสนามภายในอะตอม อิเล็กตรอนที่อยู่ติดกันจะถูกรบกวน และจะมีการจัดเรียงเส้นสเปกตรัมใหม่ ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า ปรากฏการณ์ Paschen-Back

การนำเสนอทางทฤษฎี

ผลรวมฮามิลโทเนียนของอะตอมในสนามแม่เหล็ก คือ

$H=H_{0}+V_{M},\$

โดยที่

$H_{0}$ คือ ฮามิลโทเนียนของอะตอมที่ไม่ถูกรบกวน

$V_{M}$คือ การรบกวนเนื่องจากสนามแม่เหล็ก ดังสมการ

$V_{M}=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}},$

โดยที่ ${\vec {\mu }}$ คือ โมเมนต์แม่เหล็กของอะตอม โมเมนต์แม่เหล็กประกอบด้วยส่วนไฟฟ้าและส่วนนิวเคลียร์ แต่ส่วนหลังจะมีขนาดเล็กลง ดังนั้น

${\vec {\mu }}\approx -{\frac {\mu _{B}g{\vec {J}}}{\hbar }},$

โดยที่

$\mu _{B}$ คือ Bohr magneton

${\vec {J}}$ คือ ผลรวมโมเมนตัมเชิงมุมทางไฟฟ้า

$g$ คือ Landé g-factor

ซึ่งวิธีที่ถูกต้องมากขึ้นคือการพิจารณาตัวดำเนินการของโมเมนต์แม่เหล็กของอิเล็กตรอนเป็นผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุม (orbital angular momentum, L) และโมเมนตัมสปิน (spin angular momentum, S) และคูณแต่ละจำนวนด้วย Gyromagnetic ratio

${\vec {\mu }}=-{\frac {\mu _{B}(g_{l}{\vec {L}}+g_{s}{\vec {S}})}{\hbar }},$

ซึ่ง $g_{l}=1$ และ $g_{s}\approx 2.0023192$

ปรากฏการณ์เซมันแบบ Weak-field

ปรากฏการณ์ที่ส่งผลต่อเส้นสเปรกตัมของอะตอมในสนามแม่เหล็กโดยที่อันตรกิริยาของ spin-orbit มีอิทธิพลมากกว่าผลเนื่องจากสนามแม่เหล็กภายนอก โดยที่ผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมคือ $\scriptstyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}$

ค่าเฉลี่ยของสปินเวกเตอร์คือ สปินเวกเตอร์ที่โพรเจกชั่นบนทิศทางของ $\scriptstyle {\vec {J}}$

${\vec {S}}_{avg}={\frac {({\vec {S}}\cdot {\vec {J}})}{J^{2}}}{\vec {J}}$

และค่าเฉลี่ยของโมเมนตัมเชิงมุมจะเป็น

${\vec {L}}_{avg}={\frac {({\vec {L}}\cdot {\vec {J}})}{J^{2}}}{\vec {J}}.$

ดังนั้นถ้าให้ V_M เป็นพลังงานศักย์เนื่องจากการรบกวนของสนามแม่เหล็กจะได้ว่า

$\langle V_{M}\rangle ={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}{\vec {J}}\left(g_{L}{\frac {{\vec {L}}\cdot {\vec {J}}}{J^{2}}}+g_{S}{\frac {{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}}{J^{2}}}\right)\cdot {\vec {B}}.$

แทนค่า $\scriptstyle {\vec {L}}={\vec {J}}-{\vec {S}}$ แล้วยกกำลังสองทั้ง ข้างเราจะได้

${\vec {S}}\cdot {\vec {J}}={\frac {1}{2}}(J^{2}+S^{2}-L^{2})={\frac {\hbar ^{2}}{2}}[j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)],$

แทนค่า $\scriptstyle {\vec {S}}={\vec {J}}-{\vec {L}}$ แล้วยกกำลังสองทั้ง ข้างเราจะได้

${\vec {L}}\cdot {\vec {J}}={\frac {1}{2}}(J^{2}-S^{2}+L^{2})={\frac {\hbar ^{2}}{2}}[j(j+1)+l(l+1)-s(s+1)].$

แทนค่า $\scriptstyle J_{z}=\hbar m_{j}$ ในสมการและให้ เพื่อหาค่าพลังงานศักย์ของอะตอมที่ถูกรบกวนโดยสนามแม่เหล็กภายนอก

${\begin{aligned}V_{M}&=\mu _{B}Bm_{j}\left[g_{L}{\frac {j(j+1)+l(l+1)-s(s+1)}{2j(j+1)}}+g_{S}{\frac {j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2j(j+1)}}\right]\\&=\mu _{B}Bm_{j}\left[1+(g_{S}-1){\frac {j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2j(j+1)}}\right],\\&=\mu _{B}Bm_{j}g_{j}\end{aligned}}$

เมื่อปริมาณในวงเล็บใหญ่คือ Landé g-factor g_J ของอะตอม (g_L= 1, g_S = 2) และ คือ ผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมใน z-component สำหรับอิเล็กตรอนเดี่ยวบน filled shell, และ จะทำให้ Landé g-factor สามารถอนุมานได้เป็น

$g_{j}=1\pm {\frac {g_{S}-1}{2l+1}}$

สามารถเขียน V_M ในรูปของ ค่าแก้ไขของ Zeeman ได้เป็น

${\begin{aligned}E_{Z}^{(1)}=\langle nljm_{j}|H_{Z}^{'}|nljm_{j}\rangle =\langle V_{M}\rangle _{\Psi }=\mu _{B}g_{J}B_{ext}m_{j}\end{aligned}}$

ปรากฏการณ์เซมันแบบสนามแม่เหล็กเข้ม (Strong field Zeeman Effect)

ปรากฏการณ์ซีมานแบบสนามแม่เหล็กเข้ม เรียกอีกชื่อว่า ปรากฏการณ์ Paschen-Back เป็นการแยกระดับพลังงานอะตอมอยู่ในสนามแม่เหล็กที่มีความเข้มสูง เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อสนามแม่เหล็กภายนอกมีค่ามากพอที่จะรบกวนอันตรกิริยาระหว่างสปินกับการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนชั้นนอกสุด (The spin-orbit coupling) โดยปรากฏการณ์นี้ได้รับการตั้งชื่อจาก นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน Friedrich Paschen และ Ernst E. A Back

เมื่อการรบกวนของสนามแม่เหล็ก (the magnetic-field perturbation) มีค่ามากกว่าอันตรกิริยาของสปินกับการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนชั้นนอกสุด (the spin-orbit interaction) อย่างมาก อาจถือว่า $[H_{0},S]=0$ ซึ่งจะช่วยให้คำนวณหาค่าคาดหวังของโมเมนตัมเชิงมุมออร์บิทัล ($L_{z}$) และโมเมนตัมเชิงมุมของสปิน ($S_{z}$) ได้ง่าย โดยพลังงานจะอยู่ในรูป

$E_{z}=\left\langle \psi \left|H_{0}+{\frac {B_{z}\mu _{B}}{\hbar }}(L_{z}+g_{s}S_{z})\right|\psi \right\rangle =E_{0}+B_{z}\mu _{B}(m_{l}+g_{s}m_{s})$

จากสมการข้างบน แสดงให้เห็นว่า อันตรกิริยาระหว่างสปินกับการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนชั้นนอกสุด (The spin-orbit coupling) ได้รับการกระทบจากสนามภายนอกอย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตามกฎการเลือก (The selection rules) $m_{l}$ และ $m_{s}$ ยังเป็นเลขควอนตัมที่ยังคงใช้ได้ นั่นคือ $\Delta s=0,\Delta m_{s}=0,\Delta l=\pm 1,\Delta m_{l}=0,\pm 1$ เป็นผลให้มีเพียงเส้นสเปกตรัม 3 เส้นที่จะมองเห็นได้ ซึ่งสอดคล้องกับกฎการเลือก (The selection rule) ที่ว่า $\Delta m_{l}=0,\pm 1$ โดยการแยกเส้นสเปกตรัม $\Delta E=B\mu _{B}\Delta m_{l}$ เป็นส่วนที่ไม่ขึ้นกับพลังงานที่ไม่ถูกรบกวนและโครงสร้างของระดับพลังงานของอะตอมของระดับที่พิจารณา โดยจะเห็นว่า องค์ประกอบทั้งสามในสมการนี้เป็นคำตอบของการเปลี่ยนสถานะหลาย ๆ สถานะ

ในกรณีทั่วไป (ถ้า $s\neq 0$ ) จะต้องเพิ่มเทอมของอันตรกิริยาระหว่างสปินกับการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนชั้นนอกสุด (The spin-orbit coupling) และ Relativistic corrections หรือที่เรียกกันว่า “fine structure” ซึ่งเป็นการรบกวนต่อระดับที่ไม่ถูกรบกวน โดยค่าพลังงานของ fine-structure corrections สำหรับอะตอมไฮโดรเจนใน the Paschen–Back limit จากการใช้ทฤษฎี Perturbation อันดับที่ 1 เป็นไปตามสมการข้างล่าง

$E_{z+fs}=E_{z}+{\frac {\alpha ^{2}}{2n^{3}}}\left\{{\frac {3}{4n}}-\left[{\frac {l(l+1)-m_{l}m_{s}}{l(l+1/2)(l+1)}}\right]\right\}$