จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
การแปลง Z ขั้นสูง (อังกฤษ: advanced Z-transform หรือ modified Z-transform) เป็นการแปลง Z ที่ได้ผนวกผลของการหน่วง (delay) ที่ไม่ได้เป็นพหุคูณของอัตราการชักตัวอย่าง (sampling rate) บนโดเมนเวลาของสัญญาณ การแปลง Z ขั้นสูงถูกประยุกต์ใช้กันอย่างมากในการประมวลผลสัญญาณ (signal processing) และการควบคุมดิจิทัล (digital control) ตัวอย่างเช่น การสร้างแบบจำลองการประมวลผลสัญญาณที่รวมผลของการหน่วงเชิงเวลาแบบแม่นยำ เป็นต้น
การแปลง Z ขั้นสูง ถูกเสนอโดย จูรี่ (Eliahu Ibraham Jury)[1][2] นักทฤษฎีระบบควบคุมผู้ได้รับรางวัล Richard E. Bellman Control Heritage Award ประจำปี ค.ศ. 1993
นิยาม[แก้]
การแปลง Z ขั้นสูง มีนิยามดังต่อไปนี้
![{\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913589e3306b1580d16c4f2092eb498a494e0c54)
โดยที่
- T คาบของการชักตัวอย่าง (sampling period)
- m พารามิเตอร์การหน่วง (delay parameter) โดยที่
![{\displaystyle m\in [0,T).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9eb0901c79cd5fee6067daaf0f13c1d441354e6)
คุณสมบัติ[แก้]
ภาวะเชิงเส้น[แก้]
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F(z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a4c966364b9edd1bbdbc23fa2ba9075cddd087)
การเลือนเชิงเวลา[แก้]
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea69426441f5b29711d43ffd14c9df8e6c4d5d9b)
การหน่วง[แก้]
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed78fc31b0f407559130b121b5a6c4826d0c8d9)
การคูณเชิงเวลา[แก้]
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d749b1bc7701279ad0cab37ecc90f91ad615ba5f)
ทฤษฎีค่าสุดท้าย[แก้]
![{\displaystyle \lim _{k=\infty }f(kT+m)=\lim _{z=1}(1-z^{-1})F(z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b17bf61f7100c82fd883fd86a713671b944740)
หมายเหตุ: ในกรณีที่ พารามิเตอร์การหน่วงmเป็นคงคงที่ ในกรณีนี้คุณสมบัติของการแปลง Z แบบปรกติกับการแปลง Z ขั้นสูงจะเหมือนกันทั้งหมด
ตารางการแปลง Z ขั้นสูงของฟังก์ชันต่างๆ[แก้]
f(t) |
F(z,m)
|
1(t) |
|
t |
|
e-at |
|
1 - e-at |
|
sin ωt |
|
ตัวอย่าง[แก้]
ในที่นี้เรากำหนดให้
.
ถ้า
แล้ว
จะลดรูปกลายเป็นการแปลง Z แบบปรกติ
![{\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec2ca9c6096f69694fcaaa258e005db0fa4dc11)
ซึ่งก็ตรงกับผลการแปลงการแปลง Z แบบปรกติของ
นั้นเอง
เพิ่มเติม[แก้]
บรรณานุกรม[แก้]
อ้างอิง[แก้]