ข้ามไปเนื้อหา

กฎโคไซน์ของลัมแบร์ท

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

กฎโคไซน์ของลัมแบร์ท (Lambert's cosine law) ในทางทัศนศาสตร์ คือกฎที่กล่าวว่าความเข้มของการส่องสว่างหรือความเข้มของการแผ่รังสีที่สังเกตได้จากพื้นผิวสะท้อนแสงพร่าในอุดมคติจะแปรตามค่าโคไซน์ของมุม θ ระหว่างลำแสงตกกระทบกับแนวฉากผิวของวัตถุ[1][2] เรียกอีกอย่างว่า กฎการแผ่รังสีโคไซน์ (cosine emission law)[3] หรือ กฎการแผ่รังสีของลัมแบร์ท (Lambert's emission law) ตั้งชื่อตามโยฮัน ไฮน์ริช ลัมแบร์ท จากหนังสือ Photometria ของเขาที่ตีพิมพ์เป็นภาษาละตินในปี 1760[4]

พื้นผิวที่เป็นไปตามกฎโคไซน์ของลัมแบร์ทเรียกว่าเป็น ผิวลัมแบร์ท (Lambertian surface) และมีคุณสมบัติการสะท้อนแบบลัมแบร์ท พื้นผิวลัมแบร์ทจะมีความแผ่รังสีเท่ากันไม่ว่าเมื่อมองจากมุมใด และในสายตาของมนุษย์ก็จะมองว่ามีความสว่างเท่ากันในทุกมุม เหตุผลที่พื้นผิวลัมแบร์ทมีความส่องสว่างเท่ากันคือ แม้ว่าความส่องสว่างที่ปล่อยออกมาจากพื้นที่ที่พิจารณาจะลดลงตามโคไซน์ของมุมการแผ่รังสี แต่ขนาดที่ปรากฏของพื้นที่ที่ผู้สังเกตมองเห็นก็จะลดลงตาม ดังนั้นค่าความแผ่รังสี (= ฟลักซ์รังสี/มุมตัน/พื้นที่การฉาย) จึงเท่ากัน

แสงพร่าและการแผ่รังสีบนผิวลัมแบร์ท

[แก้]

หากพื้นที่หนึ่ง ๆ ปล่อยรังสีออกมาเนื่องจากถูกส่องสว่างโดยแหล่งกำเนิดแสงภายนอก ความรับอาบรังสี (พลังงาน/เวลา/พื้นที่) ที่ตกบนพื้นที่นั้นจะแปรตามค่าโคไซน์ของมุมระหว่างแนวฉากของผิวกับมุมที่แสงตกกระทบ การกระเจิงบนผิวลัมแบร์ทนั้นจะเกิดขึ้นกับแสงที่ตกกระทบ โดยเกิดการกระเจิงในลักษณะเดียวกับกฎโคไซน์ในการแผ่รังสีบนผิวลัมแบร์ท ซึ่งหมายความว่าแม้ว่าค่าความแผ่รังสีของผิวลัมแบร์ทจะขึ้นอยู่กับมุมระหว่างแนวฉากของผิวกับทิศทางไปแหล่งกำเนิดแสง แต่ก็ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมมองของผู้สังเกต

หากเรามองว่าพื้นผิวของดวงจันทร์เป็นผิวลัมแบร์ท ความสว่างควรจะลดลงอย่างมากที่บริเวณใกล้ขอบของดวงจันทร์ เนื่องจากมุมตกกระทบของแสงที่ตกกระทบจากดวงอาทิตย์เพิ่มขึ้น อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริงแล้วความสว่างไม่ได้ลดลง จึงกล่าวได้ว่าผิวดวงจันทร์ไม่ได้เป็นผิวลัมแบร์ท นอกจากนี้ ในทางปฏิบัติแล้ว แสงที่มุมตกกระทบเอียงจะกระเจิงมากกว่า เมื่อเทียบกับพื้นผิวลัมแบร์ท

การแผ่รังสีจากผิวลัมแบร์ทนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับปริมาณรังสีรวมที่ตกกระทบ แต่ขึ้นอยู่กับการแผ่รังสีจากตัวแหล่งกำเนิดเอง ตัวอย่างเช่น สมมติว่าดวงอาทิตย์เป็นแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ท อาจกล่าวได้ว่าพื้นผิวของดวงอาทิตย์มีความสว่างเท่ากันตลอดพื้นผิว อย่างไรก็ตาม ในความเป็นความจริงแล้วดวงอาทิตย์ไม่ใช่แหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ทเนื่องจากมีการมืดคล้ำที่ขอบ ตัวอย่างแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ทคือวัตถุดำ

การพิสูจน์ความเท่ากันของความสว่าง

[แก้]
รูปที่ 1: การแผ่รังสีในแนวฉากและนอกแนวฉาก (โฟตอน/วินาที) จำนวนโฟตอนต่อวินาทีภายในพื้นที่รูปลิ่มแต่ละช่องนั้นแปรผันตามพื้นที่ของลิ่มนั้น
รูปที่ 2: ความเข้มแสงที่สังเกตการณ์ได้ (โฟตอน/(s·cm2·sr)) จากแนวและนอกแนวฉาก dA0 คือพื้นที่ของรูรับแสงที่มองอยู่ คือมุมตันบนพื้นผิวซึ่งมองจากจุดสังเกตการณ์

การเกิดการสะท้อนบนผิวลัมแบร์ทแสดงดังในรูปที่ 1 และ 2 ในที่นี้เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนขึ้น จะอธิบายในรูปของจำนวนโฟตอน แทนพลังงานการส่องสว่างหรือความแผ่รังสี พื้นที่รูปลิ่มแต่ละช่องภายในวงกลมล้วนมีมุมขนาด เท่ากัน และจำนวนโฟตอนต่อวินาทีที่ฉายรังสีไปยังพื้นที่รูปลิ่มคงที่เท่ากันตลอดผิวลัมแบร์ท

ความยาวของลิ่มแต่ละอันสามารถมองว่าเป็นผลคูณของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมและ cos(θ) นอกจากนี้ โฟตอนที่ปล่อยออกมาต่อหน่วยมุมตันจะมีค่าสูงสุดที่แนวฉาก และจะเป็นศูนย์ที่ θ = 90° ในทางคณิตศาสตร์ ความแผ่รังสีที่แนวฉากแสดงเป็น "ต่อวินาที ต่อตารางเมตร ต่อสเตอเรเดียน" (s·cm2·sr) โดยจำนวนโฟตอนที่ปล่อยออกมาจากพื้นที่ลิ่มแนวตั้งต่อวินาทีจะเป็น / dΩ dA ส่วนจำนวนโฟตอนที่ปล่อยออกมาต่อวินาทีที่มุม θ จากลิ่มแนวตั้งก็จะเป็น /cos(θ) dΩ dA

รูปที่ 2 เป็นแผนภาพแสดงมุมมองจากจุดสังเกต เมื่อมองจากด้านบนพื้นที่หน่วยหนึ่งโดยตรง จะมองเห็นพื้นที่ dA ที่มีมุมตันเป็น 0 ผ่านรูรับแสงพื้นที่ dA0 อาจสรุปได้ว่า รูรับแสงดังกล่าวจะทำให้เกิดมุมทึบขนาด ในกรณีเมื่อมองจากพื้นที่หนึ่งหน่วย จุดสังเกตการณ์ของค่าที่แนวฉากนี้จะบันทึกได้เป็น / dA โฟตอน/วินาที และความแผ่รังสีที่วัดได้จะกลายเป็น

/(s·cm2·sr)

เมื่อมองจากจุดสังเกตการณ์ที่ทำมุม θ กับแนวฉาก จะสังเกตการณ์พื้นที่หน่วยขนาด dA ผ่านรูรับแสงเดียวกันที่พื้นที่ dA0 แล้วมีขนาดมุมตันเป็น 0 cos(θ) ที่จุดสังเกตการณ์นี้ค่าที่ถูกบันทึกจะเป็น /cos(θ) dA โฟตอน/วินาที และค่าความแผ่รังสีที่วัดได้จะเป็น

โฟตอน/(s·cm2·sr)

ซึ่งมีค่าเท่ากับเมื่อมองจุดสังเกตการณ์บนแนวฉาก ดังนั้นจึงได้ข้อสรุปว่าความแผ่รังสี (หรือความสว่าง) จะไม่ขึ้นอยู่กับมุมที่สังเกตการณ์

ฟลักซ์ส่องสว่างและความเข้มของการส่องสว่างสูงสุด

[แก้]

โดยทั่วไปความเข้มของการส่องสว่าง ณ จุดหนึ่ง ๆ บนพื้นผิวหนึ่ง ๆ จะแตกต่างกันไปตามทิศทาง บนพื้นผิวลัมแบร์ท การกระเจิงของรังสีถูกกำหนดโดยกฎโคไซน์ โดยขึ้นกับค่าสูงสุดของการส่องสว่างที่แนวฉาก สมมติว่าถ้าพื้นผิวเป็นผิวลัมแบร์ท ให้ฟลักซ์ส่องสว่างรวมเป็น และความเข้มของการส่องสว่างสูงสุดเป็น จากกฎโคไซน์แล้วได้ว่า

ดังนั้น

ในที่นี้ คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ยาโคบีสำหรับทรงกลมหนึ่งหน่วย และ คือฟลักซ์ส่องสว่างต่อสเตอเรเดียน[5] ในทำนองเดียวกัน ความเข้มสูงสุดจะเท่ากับค่าฟลักซ์ส่องสว่างที่แผ่มาคูณด้วย

ตัวอย่าง: พื้นผิวที่มีความสว่าง cd/m2 (=100 nt, จอภาพ PC ทั่วไป) หากเป็นผิวลัมแบร์ทโดยสมบูรณ์แบบ จะมีความเข้มของการแผ่รังสีที่ 314 lm/m2 สำหรับพื้นที่ 0.1 m2 (≒ จอภาพ 19 นิ้ว) ปริมาณแสงที่ปล่อยออกมา หรือฟลักซ์ส่องสว่างทั้งหมดจะเป็น 31.4 lm


อ้างอิง

[แก้]
  1. RCA Electro-Optics Handbook, p.18 ff
  2. Modern Optical Engineering, Warren J. Smith, McGraw-Hill, p.228, 256
  3. Pedrotti & Pedrotti (1993). Introduction to Optics. Prentice Hall. ISBN 0135015456.
  4. Lambert, Johann Heinrich (1760). Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae. Eberhard Klett.
  5. Incropera and DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 5th ed., p.710.

ดูเพิ่ม

[แก้]