สัญกรณ์บรา-เค็ท

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
(เปลี่ยนทางจาก Bra-ket notation)
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในกลศาสตร์ควอนตัม สัญกรณ์บรา-เค็ท (อังกฤษ: bra–ket notation) คือ สัญกรณ์พื้นฐานที่ใช้ในการอธิบายสถานะควอนตัม แทนด้วยสัญลักษณ์ angle bracket ("", และ "") และ vertical bar ("") สัญกรณ์นี้สามารถแทนได้ทั้งเวกเตอร์และเมทริกซ์ ซึ่งถูกนำเสนอโดยพอล ดิแรก (Paul Dirac) ในปี 1939 และเป็นที่รู้จักกันในชื่อ สัญกรณ์ดิแรก (Dirac notation)

ในรูปผลคูณเชิงสเกลาร์ สามารถแสดงได้ดังนี้

ประกอบด้วยส่วนทางขวา เรียกว่า เวกเตอร์เค็ท (ket vector)

และส่วนทางด้านซ้าย เรียกว่า เวกเตอร์บรา (bra vector) ซึ่งเป็นสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate) ของเค็ท

สมบัติ[แก้]

สัญกรณ์บรา-เค็ทถูกคิดค้นมาเพื่อความสะดวกในการแสดง state function หรือ state vector สามารถหาสมบัติบางประการ โดยกำหนดให้

c1 และ c2 แทน จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

c แทน สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน c

A แทน B แทน ตัวดำเนินการเชิงเส้นใด ๆ

ความเป็นเชิงเส้น[แก้]

เนื่องจากบรา เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear functional)

จากนิยามการบวกและการคูณสเกลาร์ของฟังก์ชันเชิงเส้น

สมบัติการเปลี่ยนหมู่[แก้]

เป็นการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเชิงซ้อน, บรา, เค็ท, ผลคูณภายใน (inner product), ผลคูณภายนอก (outer product) และตัวดำเนินการเชิงเส้น โดยสามารถเขียนในรูปสัญกรณ์บรา-เค็ทได้ดังนี้

สังยุคเอร์มีเชียน[แก้]

สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugation) แทนด้วยสัญลักษณ์ มีกฎต่าง ๆ ดังนี้

  • สังยุคเอร์มีเชียนของบรา คือ เค็ท
  • สังยุคเอร์มีเชียนของจำนวนเชิงซ้อน คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน 
  • สังยุคเอร์มีเชียนของสังยุคเอร์มีเชียนใด ๆ คือ ตัวมันเอง ยกตัวอย่างเช่น :(x) = x

จากกฎต่าง ๆ สามารถแสดงสมบัติบางประการของสังยุคเอร์มีเชียนได้ดังนี้

  • เค็ท

  • ผลคูณภายใน (Inner products)

( เป็นสเกลาร์ ดังนั้น สังยุคเอร์มีเชียน ก็คือ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน )

  • เมทริกซ์

  • ผลคูณภายนอก (Outer products)

ตัวดำเนินการเชิงเส้น[แก้]

ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อเค็ท[แก้]

ตัวดำเนินการเชิงเส้น (linear operators) ที่กระทำต่อเค็ทและได้ผลเป็น เค็ท เราจะสามารถกล่าวได้ว่าตัวดำเนินการนั้นเป็น “เชิงเส้น” ได้ เมื่อตัวดำเนินการนั้นมีสมบัติที่แน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า ถ้าให้ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าเค็ท จะได้ว่า เมื่อ กระทำต่อ จะทำให้ได้ เป็นสถานะใหม่ขึ้นมา

ตัวดำเนินการเชิงเส้นถูกใช้อย่างมากในวิชากลศาสตร์ควอนตัม ใน Hilbert space ที่มีจำนวน มิติ สถานะ สามารถเขียนในรูปของคอลัมน์เวกเตอร์ มิติ ส่วนตัวดำเนินการ จะอยู่ในรูปเมริกซ์ มิติ โดยที่ สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์

ตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำต่อบรา[แก้]

ตัวดำเนินการจะกระทำจากทางด้านขวาของบรา ถ้าให้ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นและ เป็นสถานะทางควอนตัมที่เรียกว่าบรา ซึ่ง จะเป็นสถานะใหม่ที่ถูกนิยามตามสมการ

ใน Hilbert space ที่มีจำนวน N มิติ สถานะ สามารถเขียนในรูปของแถวเวกเตอร์ มิติ ส่วนตัวดำเนินการ จะอยู่ในรูปเมริกซ์ มิติ โดยที่ สามารถคำนวณด้วยวิธีการคูณแบบเมทริกซ์ และถ้าสถานะของเวกเตอร์อยู่ในรูปของสัญกรณ์บราและเค็ทจะเขียนได้เป็น

ผลที่ออกมาจะแสดงผลของปริมาณที่เรียกว่า ค่าคาดหวัง หรือค่าเฉลี่ย

Outer products[แก้]

วิธีที่จะนิยามตัวดำเนินการเชิงเส้นใน Hilbert space จะใช้ outer product โดยถ้าให้ และ เป็นสถานะที่เรียกว่าบราและเค็ทตามลำดับ จะเขียน outer product เป็น ซึ่งจะแสดงตัวดำเนินการที่เรียกว่า rank-one operator เป็นไปตามสมการ

สำหรับ vector space มิติจำกัดสามารถเขียนในรูปของการคูณแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้

ซึ่ง outer product ของตัวดำเนินการจะได้ออกมาเป็นเมทริกซ์ N× N มิติ