อสมการของเชบิเชฟ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
บทความนี้เกี่ยวกับอสมการในทฤษฎีความน่าจะเป็น สำหรับอสมการเกี่ยวกับผลบวกของลำดับ ดูที่ อสมการผลบวกของเชบิเชฟ

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของเชบิเชฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มตัวหนึ่งจะเบี่ยงเบนไปจากค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มนั้น อสมการของเชบิเชฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นนี้กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มนั้น โดยมีใจความดังนี้

ให้ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าคาดหมาย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แล้ว สำหรับจำนวนจริง ใด ๆ เราได้ว่า

โดยทั่วไปแล้วอสมการของเชบิเชฟจะให้ขอบเขตบนที่แน่นกว่าอสมการของมาร์คอฟ เนื่องจากอสมการของเชบิเชฟใช้ความรู้เกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม อสมการของเชบิเชฟถูกใช้ในการวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มหลาย ๆ ขั้นตอนวิธี เนื่องจากตัวแปรสุ่มในขั้นตอนวิธีนั้นมักเป็นตัวแปรสุ่มที่พบได้บ่อยและสามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ไม่ยาก

การพิสูจน์[แก้]

เนื่องจาก ก็ต่อเมื่อ เมื่อมอง เป็นตัวแปรสุ่มและใช้อสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า

ค่า คือความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม ซึ่งโดยนิยามแล้วมีค่าเท่ากับค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม ด้วยเหตุนี้

ตามต้องการ