อสมการของมาร์คอฟ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
Jump to navigation Jump to search

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของมาร์คอฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มที่มีค่าบวกจะมีมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริงบวกคงที่หนึ่งๆ ชื่อของอสมการตั้งตามนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียชื่อ อังเดร มาร์คอฟ

อสมการของมาร์คอฟมีใจความดังต่อไปนี้: ให้ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าไม่เป็นลบและ เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่มากกว่าศูนย์ แล้ว

เห็นได้ว่า อสมการของมาร์คอฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นกับค่าคาดหมาย เนื่องจากตัวอสมการเองไม่ได้กำหนดว่าตัวแปรสุ่มต้องมีสมบัติพิเศษประการใดเลย ขอบเขตบนที่ได้จากอสมการของมาร์คอฟมักจะมีค่าสูงกว่าความเป็นจริงมาก อย่างไรก็ดีเราสามารถใช้อสมการของมาร์คอฟพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่ให้ขอบเขตบนที่แน่นขึ้นได้ เช่น อสมการของเชบิเชฟ และขอบเขตเชอร์นอฟ

การพิสูจน์[แก้]

กำหนดฟังก์ชัน ดังต่อไปนี้ เมื่อ มิฉะนั้น เราได้ว่า

เนื่องจาก สำหรับทุกๆ จำนวนจริง เราได้ว่า

ตามต้องการ

อีกบทพิสูจน์หนึ่ง[แก้]

ในกรณีที่ตัวแปรสุ่ม เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง และมีค่าเป็นจำนวนเต็ม บทพิสูจน์ที่ใช้การคำนวณอย่างง่ายด้านล่างอาจเข้าใจได้ง่ายกว่า

จากนิยามของค่าคาดหมาย และเงื่อนไขที่ว่าตัวแปรสุ่ม มีค่าไม่เป็นลบ เราได้ว่า

    (กระจายเทอม โดยแยกกรณี กับ )
    (ทิ้งเทอมหน้าซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์)
    (เนื่องจาก )
    (แยก )
.     (เนื่องจากเป็นผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน)

นั่นคือเราได้ ตามต้องการ

รูปแบบอื่นของ อสมการของมาร์คอฟ[แก้]

บางครั้งเราอาจพบเห็น การใช้อสมการของมาร์คอฟ ในรูปแบบอื่น ๆ เช่น

เมื่อ คือ เป็นฟังก์ชันที่มีค่าไม่เป็นลบ และ มีค่าไม่ลดลงแล้ว

ซึ่งในกรณีที่ จะนำไปสู่ ขอบเขตเชอร์นอฟ