สัญลักษณ์ชเลฟลี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
ทรงสิบสองหน้าปรกติ เป็นทรงหลายหน้าปรกติที่มีสัญลักษณ์ชเลฟลีเป็น {5, 3} ซึ่งมีรูปห้าเหลี่ยมปรกติสามรูปรอบจุดยอดจุดหนึ่ง

ในทางเรขาคณิต สัญลักษณ์ชเลฟลี (อังกฤษ: Schläfli symbol) คือสัญกรณ์ที่อยู่ในรูปแบบ {p, q, r, …} ที่เป็นตัวกำหนดพอลิโทปและเทสเซลเลชันปรกติ ตั้งชื่อตามลุดวิก ชเลฟลี (Ludwig Schläfli) นักคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 19 ผู้มีส่วนร่วมคนสำคัญในเรื่องเรขาคณิตและพื้นที่อื่น ๆ

คำอธิบาย[แก้]

สัญลักษณ์ชเลฟลีเป็นบทนิยามเวียนเกิดชนิดหนึ่ง เริ่มต้นด้วย {p} หมายถึงรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่มี p ด้าน ตัวอย่างเช่น {3} คือรูปสามเหลี่ยมปรกติ (ด้านเท่ามุมเท่า), {4} คือรูปสี่เหลี่ยมปรกติ (จัตุรัส) เป็นต้น

ถัดไปคือ {p, q} หมายถึงทรงหลายหน้าปรกติที่แต่ละหน้าเป็นรูป p เหลี่ยมปรกติและมีเป็นจำนวน q รูปรอบจุดยอดจุดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ทรงลูกบาศก์มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรอบจุดยอดจุดหนึ่งเป็นจำนวนสามรูป ดังนั้นจึงเขียนแทนด้วย {4, 3}

{p, q, r} ก็คือพอลิโทปสี่มิติปรกติที่แต่ละห้อง (cell) เป็นทรงหลายหน้าปรกติ {p, q} และมีเป็นจำนวน r รูปทรงรอบขอบด้านหนึ่ง เป็นเช่นนี้เรื่อยไป

พอลิโทปปรกติสามารถมีองค์ประกอบเป็นรูปดาวหลายแฉกได้ เช่นรูปดาวห้าแฉก (pentagram) ใช้สัญลักษณ์ {5/2} เป็นตัวแทนของจุดยอดแบบรูปห้าเหลี่ยมแต่เชื่อมโยงกันในรูปแบบที่ต่างไป

แฟซิต (facet) ของพอลิโทปปรกติ {p, q, r, …, y, z} โดยทั่วไปคือ {p, q, r, …, y} ซึ่งมีเป็นจำนวน z แฟซิตรอบจุดยอดแต่ละจุด

พอลิโทปปรกติจะมีภาพจุดยอด (vertex figure) เป็นรูปปรกติด้วย ดังนั้นภาพจุดยอดของพอลิโทปปรกติ {p, q, r, …} คือ {q, r, …}

สัญลักษณ์ชเลฟลีสามารถเขียนแทนทรงหลายหน้าแบบนูนที่มีขอบเขตจำกัด เทสเซลเลชันที่มีขอบเขตไม่จำกัดบนปริภูมิแบบยุคลิด หรือเทสเซลเลชันที่มีขอบเขตไม่จำกัดบนปริภูมิเชิงไฮเพอร์โบลา ขึ้นอยู่กับความบกพร่องแบบมุม (angle defect) ของการสร้าง ความบกพร่องแบบมุมเชิงบวกทำให้ภาพจุดยอดสามารถ พับ ได้ในมิติที่สูงกว่าและวนกลับมาหาตัวเองกลายเป็นพอลิโทป ความบกพร่องแบบมุมเชิงศูนย์จะปูรูปทรงจนเต็มปริภูมิในมิติเดียวกันเป็นแฟซิต ส่วนความบกพร่องแบบมุมเชิงลบไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในปริภูมิธรรมดา แต่สามารถสร้างได้ในปริภูมิเชิงไฮเพอร์โบลา

ภาพจุดยอดโดยปกติจะถูกมองว่าเป็นพอลิโทปที่มีขอบเขตจำกัด แต่บางครั้งก็สามารถพิจารณาว่าเป็นเทสเซลเลชันโดยตัวมันเอง

พอลิโทปปรกติรูปทรงหนึ่งจะมีพอลิโทปคู่กัน (dual polytope) อีกรูปทรงหนึ่ง ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ชเลฟลีในลำดับย้อนกลับ พอลิโทปปรกติคู่กันในตัว (self-dual) จะมีสัญลักษณ์ชเลฟลีแบบสมมาตร นั่นคือดัชนีในลำดับย้อนกลับก็ยังคงเดิม

กรุปสมมาตร[แก้]

สัญลักษณ์ชเลฟลีมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกรุปสมมาตรการสะท้อน หรือเรียกว่าค็อกซีเตอร์กรุป (Coxeter group) โดยใช้เลขดัชนีเหมือนกันแต่ใช้วงเล็บเหลี่ยมแทนเป็นรูปแบบ [p, q, r, …] กรุปเช่นนี้มักจะถูกตั้งชื่อตามพอลิโทปปรกติที่มันสร้างขึ้นมา ตัวอย่างเช่น [3, 3] คือค็อกซีเตอร์กรุปสำหรับสมมาตรเชิงทรงสี่หน้า (tetrahedral symmetry), [3, 4] คือสมมาตรเชิงทรงแปดหน้า (octahedral symmetry) และ [3, 5] คือสมมาตรเชิงทรงยี่สิบหน้า (icosahedral symmetry) เป็นต้น

พอลิโทปปริซึมเอกรูป[แก้]

พอลิโทปปริซึมเอกรูปสามารถนิยามและตั้งชื่อได้ด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนของพอลิโทปปรกติในมิติที่ต่ำกว่า ดังนี้

  • ปริซึม p เหลี่ยม ซึ่งมีภาพจุดยอดเป็น p.4.4 เขียนแทนด้วย { } × {p}, สัญลักษณ์ { } หมายถึงเส้นตรงหนึ่งหน่วย
  • ปริซึมเอกรูปที่มีหน้าเป็น {p, q} เขียนแทนด้วย { } × {p, q}
  • ดูโอปริซึม p-q เขียนแทนด้วย {p} × {q}

สัญลักษณ์ชเลฟลีส่วนขยาย[แก้]

ค็อกซีเตอร์ได้ขยายแนวคิดของสัญลักษณ์ชเลฟลีออกไปเพื่อใช้กับทรงหลายหน้าเสมือนปรกติ (quasiregular polyhedron) โดยเพิ่มมิติตามแนวดิ่งลงในสัญลักษณ์ เป็นจุดเริ่มต้นสู่แผนภาพค็อกซีเตอร์-ดืยน์กิน (Coxeter-Dynkin diagram) ที่มีนัยทั่วไปมากขึ้น

รูปแบบ สัญลักษณ์ชเลฟลีส่วนขยาย สัญกรณ์ที แผนภาพค็อกซีเตอร์-ดืยน์กิน
ทรงหลายหน้าปรกติ CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
ทรงหลายหน้าเสมือนปรกติ CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
ทรงหลายหน้าปรกติคู่กัน CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png

และสำหรับพอลิโทปสี่มิติปลายตัดครึ่งด้าน (rectified 4-polytope) ก็จะเป็นเช่นนี้

รูปแบบ สัญลักษณ์ชเลฟลีส่วนขยาย สัญกรณ์ที แผนภาพค็อกซีเตอร์-ดืยน์กิน
ทรงหลายห้องปรกติ CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
ทรงหลายห้องปลายตัดครึ่งด้าน CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
ทรงหลายห้องปลายตัดครึ่งด้านคู่กัน CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.pngCDel node.png
ทรงหลายห้องปรกติคู่กัน CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node 1.png

อ้างอิง[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]