รูปห้าเหลี่ยม

รูปห้าเหลี่ยม
รูปห้าเหลี่ยมไซคลิก
ขอบและจุดยอด	5

รูปห้าเหลี่ยมปกติ

รูปห้าเหลี่ยม (อังกฤษ: pentagon) คือ รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 5 ด้าน รูปห้าเหลี่ยมปกติ (regular pentagon) คือ รูปห้าเหลี่ยมที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมุมทุกมุมมีขนาดเท่ากัน (540° คือมุมภายในของรูป)

รูปห้าเหลี่ยมปกติที่ด้านแต่ละด้านยาว a จะมีพื้นที่เท่ากับ $A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1.72048a^{2}$

รูปดาวห้าแฉกในรูปห้ามเหลี่ยม

รูปดาวห้าแฉก (pentagram) สามารถสร้างจากรูปห้าเหลี่ยมปกติได้ โดยการลากเส้นตามเส้นทแยงมุม และรูปนี้จะมีความยาวที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทอง, φ = (1+√5)/2

รูปห้าเหลี่ยมปรกติ

รูปห้าเหลี่ยมปรกติ
รูปห้าเหลี่ยมปรกติ
ชนิด	รูปหลายเหลี่ยมปรกติ
ขอบและจุดยอด	5
สัญลักษณ์ชเลฟลี	{5}
ค็อกซีเตอร์-ดืยน์กิน
กรุปสมมาตร	สมมาตรdihedral (D5), อันดับ 2×5
มุมภายใน (องศา)	108°
รูปหลายเหลี่ยมคู่กัน	ตัวมันเอง
สมบัติ	รูปหลายเหลี่ยมนูน, มีวงกลมล้อมได้, ด้านเท่า, isogonal, isotoxal

การสร้างรูปห้าเหลี่ยม

การสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ

ยุคลิดได้อธิบายการสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียน ไว้ในหนังสือ Elements ตั้งแต่ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ได้สร้างทฤษฎีเพื่อพิสูจน์เกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยม

รูปห้าเหลี่ยมในการจัดเรียง

บทความหลัก: การจัดเรียงรูปห้าเหลี่ยม

โครงสร้างการบรรจุของรูปห้าเหลี่ยมปรกติขนาดเท่ากันบนระนาบที่ดีที่สุดที่ค้นพบคือโครงสร้างตาข่ายคู่ ซึ่งครอบคลุมพื้นที่ 92.131% ของระนาบ

รูปห้าเหลี่ยมปรกติไม่สามารถปรากฏในการเรียงต่อกันของรูปหลายเหลี่ยมปรกติใด ๆ ได้ โดยประการแรก เพื่อพิสูจน์ว่า รูปห้าเหลี่ยมไม่สามารถเรียงต่อกันเป็นปรกติได้ (พิจารณาเฉพาะรูปห้าเหลี่ยมซึ่งทุกหน้าเท่ากันทุกประการ ดังนั้นจึงกำหนดให้รูปหลายเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปห้าเหลี่ยม) ให้สังเกตว่า 360° / 108° = 31/3 (โดยที่ 108° เป็นมุมภายใน) ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม นั่นคือ ไม่มีจำนวนเต็มใด ๆ แทนจำนวนรูปห้าเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันและไม่เหลือที่ว่างระหว่างรูป สิ่งที่ยากกว่าคือการพิสูจน์ว่ารูปห้าเหลี่ยมไม่สามารถปรากฏในการเรียงต่อกันด้านต่อด้านของรูปหลายเหลี่ยมปรกติใด ๆ ได้

ความหนาแน่นของการบรรจุสูงสุดที่ค้นพบของรูปห้าเหลี่ยมปรกติคือ $(5-{\sqrt {5}})/3\approx 0.921$ ซึ่งทำได้โดยการจัดเรียงแบบตาข่ายคู่ดังภาพ ในเอกสารพิมพ์ล่วงหน้าที่เผยแพร่ในปี 2016 โทมัส เฮลส์ และโวเดน คุสเนอร์ ได้ประกาศหลักฐานว่าการจัดเรียงแบบตาข่ายคู่ของรูปห้าเหลี่ยมปรกติ (หรือที่รู้จักกันในชื่อ "pentagonal ice-ray" ซึ่งเป็นการออกแบบโครงตาข่ายของจีนที่มีเกิดขึ้นในช่วงปี ค.ศ. 1900) มีความหนาแน่นที่ดีที่สุดในบรรดาการจัดเรียงทั้งหมดของรูปห้าเหลี่ยมปรกติบนระนาบ

ไม่มีการรวมรูปหลายเหลี่ยมปรกติ 4 รูปขึ้นไปมาบรรจบกันที่จุดยอดที่มีรูปห้าเหลี่ยม สำหรับการรวมกัน 3 รูป ถ้ารูปหลายเหลี่ยม 3 รูปมาบรรจบกันที่จุดยอดเดียวกัน และรูปหนึ่งมีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ อีก 2 รูปจะต้องเท่ากันทุกประการ เพราะรูปหลายเหลี่ยมที่สัมผัสขอบของรูปห้าเหลี่ยมจะต้องสลับกันไปมารอบรูปห้าเหลี่ยม ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจากรูปห้าเหลี่ยมมีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ สำหรับรูปห้าเหลี่ยม จะได้รูปหลายเหลี่ยมที่มุมทั้งหมดมีขนาด (360 − 108) / 2 = 126° และมี 360 / (180 − 126) = 62/3 ด้าน ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้น รูปห้าเหลี่ยมไม่สามารถปรากฏในการเรียงต่อกันของรูปหลายเหลี่ยมปรกติใด ๆ ได้

มีรูปห้าเหลี่ยม 15 ประเภทที่สามารถเรียงต่อกันบนระนาบหน้าเดียวได้ โดยทั่วไปแล้ว รูปห้าเหลี่ยมเหล่านี้ไม่มีความสมมาตร แม้ว่าบางรูปจะมีกรณีพิเศษที่มีความสมมาตรแบบสะท้อนก็ตาม

กระเบื้องรูปห้าเหลี่ยมหน้าเดียว 15 แผ่น

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15