สมการเชบีเชฟ

สมการเชบีเชฟ (อังกฤษ: Chebyshev's equation) คือสมการอนุพันธ์กำลังสองสามัญเชิงเส้น (second order linear Ordinary differential equation) ซึ่งมีรูปแบบดังนี้

$(1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0$

โดย p ค่าคงที่จำนวนจริง สมการนี้ตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ฟับนูตี เชบีเชฟ (Pafnuty Chebyshev)

ผลตอบจะอยู่ในรูปของอนุกรมค่าที่ยกกำลัง (Power series):

$y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ต้องสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ดังต่อไปนี้

$a_{n+2}={(n-p)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.$

จากการทดสอบด้วยอัตราส่วน (ratio test) กับความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น จะพบว่าค่า ในอนุกรมดังกล่าวจะลู่เข้า (converge) ในช่วง $x\in [-1,1]$

ความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้นนี้เราสามารถกำหนดค่าเริ่มต้นสำหรับ $a_{0}$ และ $a_{1}$ ได้ ซึ่งทำให้ได้ผลตอบในปริภูมิสองมิติที่เป็นอิสระต่อกัน เช่นหากลองเลือกให้ $a_{0}$ และ $a_{1}$ มีค่าเป็น $0$ และ $1$

กรณี $a_{0}$ = 1 ; $a_{1}$ = 0 จะได้

$F(x)=1-{\frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{\frac {(p-2)p^{2}(p+2)}{4!}}x^{4}-{\frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!}}x^{6}+\cdots$

และ

กรณี $a_{0}$ = 0 ; $a_{1}$ = 1 จะได้

$G(x)=x-{\frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{\frac {(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-\cdots .$

ซึ่งผลตอบในรูปแบบทั่วไปเกิดมาจากผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของสองผลตอบข้างต้นนี้

เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเต็มบวก ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งที่กล่าวมาข้างต้นจะมีลำดับที่จำกัด โดยที่ ฟังก์ชัน $F$ จะมีพจน์ถึงแค่ $x^{p}$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนคู่ และในทางกลับกัน ฟังก์ชัน $G$ จะมีพจน์ถึงแค่ $x^{p}$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนคี่ ซึ่งส่งผลให้ลำดับของอนุกรมผลตอบจะมีลำดับจำกัดอยู่แค่ลำดับ $p$ และเป็นเพียงพหุคูณของ พหุนามเชบีเชฟ (Chebyshev polynomial) ลำดับ $p$ เท่านั้นเอง ดังจะเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ดังนี้

$T_{p}(x)=(-1)^{p/2}\ F(x)\,$ ถ้า $p$ เป็นจำนวนคู่

$T_{p}(x)=(-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\,$ ถ้า $p$ เป็นจำนวนคี่

โดยที่ $T_{p}(x)$ คือ พหุนามเชบีเชฟ ลำดับ $p$

อนึ่ง เราสามารถหาผลตอบได้ในกรณีที่ $p$ เป็นจำนวนเต็มลบได้เช่นกัน เพียงแต่ว่าผลตอบที่ได้นั้นจะซ้ำกับผลตอบในกรณีที่ $p$ เป็นจำนวนเต็มบวก อันเนื่องมาจากสมการเชบีเชพนี้มีคุณสมบัติไม่ไม่แปรเปลี่ยน (invariant) ภายใต้การแทนค่าระหว่าง $p$ และ $-p$ นั้นเอง

อ้างอิง

• สมการเชบีเชฟ จากเว็ปของแพลเนตแมธ