ข้ามไปเนื้อหา

สมการเชบีเชฟ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

สมการเชบีเชฟ (อังกฤษ: Chebyshev's equation) คือสมการอนุพันธ์กำลังสองสามัญเชิงเส้น (second order linear Ordinary differential equation) ซึ่งมีรูปแบบดังนี้

โดย p ค่าคงที่จำนวนจริง สมการนี้ตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ฟับนูตี เชบีเชฟ (Pafnuty Chebyshev)

ผลตอบจะอยู่ในรูปของอนุกรมค่าที่ยกกำลัง (Power series):

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ต้องสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ดังต่อไปนี้

จากการทดสอบด้วยอัตราส่วน (ratio test) กับความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น จะพบว่าค่า ในอนุกรมดังกล่าวจะลู่เข้า (converge) ในช่วง

ความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้นนี้เราสามารถกำหนดค่าเริ่มต้นสำหรับ และ ได้ ซึ่งทำให้ได้ผลตอบในปริภูมิสองมิติที่เป็นอิสระต่อกัน เช่นหากลองเลือกให้ และ มีค่าเป็น และ

กรณี = 1 ; = 0 จะได้

และ

กรณี = 0 ; = 1 จะได้

ซึ่งผลตอบในรูปแบบทั่วไปเกิดมาจากผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของสองผลตอบข้างต้นนี้

เมื่อ เป็นจำนวนเต็มบวก ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งที่กล่าวมาข้างต้นจะมีลำดับที่จำกัด โดยที่ ฟังก์ชัน จะมีพจน์ถึงแค่ เมื่อ เป็นจำนวนคู่ และในทางกลับกัน ฟังก์ชัน จะมีพจน์ถึงแค่ เมื่อ เป็นจำนวนคี่ ซึ่งส่งผลให้ลำดับของอนุกรมผลตอบจะมีลำดับจำกัดอยู่แค่ลำดับ และเป็นเพียงพหุคูณของ พหุนามเชบีเชฟ (Chebyshev polynomial) ลำดับ เท่านั้นเอง ดังจะเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ดังนี้

ถ้า เป็นจำนวนคู่
ถ้า เป็นจำนวนคี่

โดยที่ คือ พหุนามเชบีเชฟ ลำดับ

อนึ่ง เราสามารถหาผลตอบได้ในกรณีที่ เป็นจำนวนเต็มลบได้เช่นกัน เพียงแต่ว่าผลตอบที่ได้นั้นจะซ้ำกับผลตอบในกรณีที่ เป็นจำนวนเต็มบวก อันเนื่องมาจากสมการเชบีเชพนี้มีคุณสมบัติไม่ไม่แปรเปลี่ยน (invariant) ภายใต้การแทนค่าระหว่าง และ นั้นเอง


อ้างอิง

[แก้]