สมการจรวดของซีออลคอฟสกี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

สมการจรวดของซีออลคอฟสกี (อังกฤษ: Tsiolkovsky rocket equation) หรือ สมการจรวดอุดมคติ (อังกฤษ: ideal rocket equation) อธิบายถึงการเคลื่อนที่ของยานพาหนะที่เป็นไปตามหลักการพื้นฐานของจรวด: จรวดเป็นอุปกรณ์ที่สามารถประยุกต์ความเร่งของตัวมันเอง (แรงขับดัน) โดยการขับไล่ส่วนหนึ่งของมวลของมันด้วยความเร็วที่สูงออกมาและทำให้เกิดการเคลื่อนที่ไปได้เนื่องมาจากกฏการอนุรักษ์โมเมนตัม สมการนี้มีความเกี่ยวข้องสัมพันธ์กันโดยค่าเดลต้า-วี (การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของความเร็วของจรวดถ้าไม่มีแรงภายนอกอื่น ๆ มากระทำ) กับประสิทธิภาพความเร็วไอเสียและมวลเมื่อเริ่มต้นและครั้งสุดท้ายของจรวด (หรือจะเป็นเครื่องยนต์แห่งแรงปฏิกิริยาอื่น ๆ ก็ตามแต่)

สมการคือ:

\Delta v = v_\text{e} \ln \frac {m_0} {m_1}

เมื่อ:

m_0 คือ มวลรวมตอนเริ่มต้น, รวมทั้งมวลของเชื้อเพลิงจรวด,
m_1 คือ มวลรวมตอนสุดท้าย,
v_\text{e} คือ ประสิทธิภาพความเร็วไอเสีย (v_\text{e} = I_\text{sp} \cdot g_0 เมื่อ I_\text{sp} คือ แรงดลจำเพาะ มีค่าตามช่วงเวลา, g_0 คือ ค่าความเร่งโน้มถ่วงมาตรฐาน),
\Delta v\ คือ เดลต้า-v - การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของอัตราเร็วของยานพาหนะ, (เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ),:\ln หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ,

หน่วยที่ใช้สำหรับมวลหรือความเร็วนั้นไม่สำคัญตราบเท่าที่พวกมันยังมีความสอดคล้องกัน

สมการถูกตั้งตามชื่อของคอนสแตนติน ซีออลคอฟสกี ซึ่งเป็นผู้ที่คิดขึ้นมาและผลงานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในปี 1903 [1]

ประวัติ[แก้]

สมการนี้มีที่มาอย่างอิสระโดย คอนสแตนติน ซีออลคอฟสกี (Konstantin Tsiolkovsky) ในช่วงปลายของศตวรรษที่ 19 และเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางในนามภายใต้ชื่อของเขาหรือเป็น 'สมการจรวดในอุดมคติ' อย่างไรก็ดีหนังสือเล่มเล็ก ๆ ที่เพิ่งค้นพบเมื่อไม่นานมานี้คือ "ตำราเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจรวด" โดยวิลเลียม มัวร์ (William Moore) [2] ได้แสดงให้เห็นว่าแหล่งที่มาของสมการนี้ที่รู้จักกันเป็นครั้งแรกในข้อเท็จจริงคือมาจากโรงเรียนนายร้อยทหารบกแห่งวัลลิช (Royal Military Academy at Woolwich) ในประเทศอังกฤษในปี 1813,[3] และได้ถูกนำมาใช้สำหรับการวิจัยอาวุธ

ที่มา[แก้]

พิจารณาระบบดังต่อไปนี้: Var mass system.PNG

ในแหล่งที่มาดังต่อไปนี้ คำว่า "จรวด" จะถูกนำไปใช้ในความหมายว่า "จรวดและเชื้อเพลิงจรวดที่ยังไม่ถูกเผาไหม้ทั้งหมด"

กฎข้อที่สองของนิวตันของการเคลื่อนที่เกี่ยวข้องกับแรงภายนอก (F_i\,) ไปสู่การเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมเชิงเส้นของระบบดังต่อไปนี้:

\sum F_i  = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P_2-P_1}{\Delta t}

เมื่อ P_1\, คือ โมเมนตัมของจรวดที่เวลา t=0:

 P_1  = \left( {m + \Delta m} \right)V

และ P_2\, คือ โมเมนตัมของจรวดและโมเมนตัมของมวลไอเสียที่เวลา t=\Delta t\,:

P_2  = m\left(V  + \Delta V \right) + \Delta m V_e

และเมื่อเทียบกับผู้สังเกต:

V\, คือ ความเร็วของจรวดที่เวลา t=0
V+\Delta V\, คือ ความเร็วของจรวดที่เวลา t=\Delta t\,
V_e\, คือ ความเร็วของมวลที่เพิ่มขึ้นให้กับไอเสีย (และมวลที่สูญเสียไปของจรวด) ในระหว่างช่วงเวลา \Delta t\,
m+\Delta m\, คือ มวลของจรวดที่เวลา t=0
m\, คือ มวลของจรวดที่เวลา t=\Delta t\,

ความเร็วของไอเสีย V_e อยู่ในกรอบของผู้สังเกตการณ์ที่สัมพันธ์กับความเร็วของไอเสีย v_e ในกรอบของจรวดโดย (เนื่องจากความเร็วของไอเสียเป็นไปในทิศทางที่เป็นลบ)

V_e=V-v_e

ดังนั้น จะได้

P_2-P_1=m\Delta V-v_e\Delta m\,

และ, โดยใช้ dm=-\Delta m, เนื่องจากขณะดันออก เป็นบวก \Delta m จึงส่งผลให้เกิดการลดลงของมวล,

\sum F_i=m\frac{dV}{dt}+v_e\frac{dm}{dt}

ถ้าไม่มีแรงภายนอกแล้ว \sum F_i=0 และ

m\frac{dV}{dt}=-v_e\frac{dm}{dt}

สมมติว่า v_e\, เป็นค่าคงที่, นี่อาจจะทำการอินทิเกรทให้ได้ผลเป็น:

\Delta V\ = v_e \ln \frac {m_0} {m_1}

หรือสมมูลกับ

m_1=m_0 e^{-\Delta V\ / v_e}      หรือ      m_0=m_1 e^{\Delta V\ / v_e}      หรือ      m_0 - m_1=m_1 (e^{\Delta V\ / v_e} - 1)

เมื่อ m_0 คือ มวลรวมเริ่มต้นรวมทั้งเชื้อเพลิงจรวด, m_1 คือ มวลรวมสุดท้าย และ v_e คือ ความเร็วของไอเสียจรวดส่วนที่เกี่ยวกับจรวด (แรงดลจำเพาะ, หรือหากวัดในเวลาจะคูณด้วยอัตราเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก)

ค่า m_0 - m_1 เป็นมวลรวมของเชื้อเพลิงจรวดที่ถูกใช้, และด้วยเหตุนี้:

M_f = 1-\frac {m_1} {m_0}=1-e^{-\Delta V\ / v_\text{e}}

เมื่อ M_f เป็นเศษส่วนมวลของเชื้อเพลิงจรวด (ส่วนหนึ่งของมวลรวมเริ่มต้นที่ใช้เป็นมวลปฏิกิริยา)

(เดลต้า v) คือการอินทิเกรทในช่วงเวลาของขนาดของความเร่งที่ผลิตโดยใช้เครื่องยนต์จรวด (สิ่งที่จะเป็นความเร่งที่เกิดขึ้นจริงถ้าแรงจากภายนอกไม่มี) ในพื้นที่ว่าง (หรือ อวกาศอิสระ), สำหรับกรณีของความเร่งในทิศทางของความเร็ว, นี้คือการเพิ่มขึ้นของความเร็ว ในกรณีที่มีความเร่งในทิศทางตรงข้าม (ชะลอความเร็วลง) มันคือการลดลงของอัตราเร็ว แน่นอนว่าแรงโน้มถ่วงและแรงฉุดก็คือตัวทำให้เกิดความเร่งต่อจรวด

ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]

  1. К. Э. Циолковский, Исследование мировых пространств реактивными приборами, 1903. It is available online here in a RARed PDF
  2. Moore, William; of the Military Academy at Woolwich (1813). A Treatise on the Motion of Rockets. To which is added, An Essay on Naval Gunnery. London: G. and S. Robinson. 
  3. Johnson, W. (1995). "Contents and commentary on William Moore's a treatise on the motion of rockets and an essay on naval gunnery". International Journal of Impact Engineering 16 (3): 499–521. doi:10.1016/0734-743X(94)00052-X. ISSN 0734-743X.