ผลต่างระหว่างรุ่นของ "เรขาคณิตวิเคราะห์"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม

ในบรรทัด

รุ่นแก้ไขเมื่อ 20:31, 23 กรกฎาคม 2562

เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่กล่าวถึงจุดบนระนาบ (point and plane) ซึ่งเป็น การศึกษาความสัมพันธ์ของเรขาคณิตและพีชคณิต (นำพีชคณิตมาแก้ปัญหาเชิงเรขาคณิต)

สำหรับเรขาคณิตวิเคราะห์จะแบ่งได้เป็น 3 ตอน คือ ระบบพิกัดฉาก จุด และเส้นตรง

ระบบพิกัดฉาก (Rectangular coordinate system)

ระบบแกนพิกัดฉาก (Rectangular coordinate system) คือ ระบบที่บอกพิกัดของจุดด้วยระยะห่างจากแกน (เส้นตรง) ที่ตัดกันเป็นมุมฉาก โดยแกนในแนวนอน เรียกว่าแกน $X$ และแกนในแนวตั้ง เรียกว่าแกน $Y$ ซึ่งมีจุดที่แกนทั้งสองตัดกัน เรียกว่า จุดกำเนิด (Origin) เขียนแทนด้วย $O$ ซึ่งคือจุด $(0,0)$ นั่นเอง ทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นของการนับระยะบนแกนทั้งสอง

และจากการตัดกันของระนาบทั้งสองทำให้ได้พื้นที่จากการตัดกันได้ 4 พื้นที่ เรียกแต่ละพื้นที่นี้ว่า จตุภาค หรือ ควอดรันต์ (Quadrant) ซึ่งจะบ่งบอกตำแหน่งของพิกัดนั่นเอง โดยแต่ละจตุภาคจะแบ่งเป็นประจุของจำนวนจริงได้ดังนี้

จตุภาคที่ 1 : $(+,+)$ เช่น $(3,5),(7,8),{\Biggl (}{\frac {4}{2}},{\frac {6}{7}}{\Biggr )},{\Bigl (}{\sqrt {5}},3{\Bigr )}$

จตุภาคที่ 2 : $(-,+)$ เช่น $(-1,6),(-12,52),{\Biggl (}{\frac {-3}{2}},{\frac {6}{7}}{\Biggr )},{\Bigl (}-{\sqrt {5}},3{\Bigr )}$

จตุภาคที่ 3 : $(-,-)$ เช่น $(-1,-6),(-7,-7),{\Biggl (}{\frac {-1}{14}},{\frac {-14}{85}}{\Biggr )},{\Bigl (}-{\sqrt {47}},-{\sqrt {31}}{\Bigr )}$

จตุภาคที่ 4 : $(+,-)$ เช่น $(1,-6),(11,-7),{\Biggl (}{\frac {5}{14}},{\frac {-8}{7}}{\Biggr )},{\Bigl (}{\sqrt {13}},-{\sqrt {44}}{\Bigr )}$

ซึ่งจะนับจตุภาคที่ 1 ในส่วนพื้นที่บนขวา แล้ววนทวนเข็มนาฬิกา

จุด (Point)

สำหรับการวิเคราะห์จุดจะแบ่งได้ดังนี้

1. การหาระยะห่างระหว่างจุด 2 จุด

ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนดให้  $P(x_{1},y_{1})$  และ  $Q(x_{2},y_{2})$  เป็น 2 จุดใด ๆ บนระนาบ  $XY$ และให้  $|PQ|$  เป็นระยะห่างระหว่างจุด  $P$  และจุด  $Q$  จะได้ว่า $|PQ|={\sqrt {{\bigl (}x_{1}-x_{2})^{2}+{\bigl (}y_{1}-y_{2}{\bigr )}^{2}}}$

2. จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด

ทฤษฎีบทที่ 2 กำหนดให้  $P(x_{1},y_{1})$  และ  $Q(x_{2},y_{2})$  เป็น 2 จุดใด ๆ บนระนาบ  $XY$  และให้  $R$  เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด  $P$  และจุด  $Q$  ซึ่งอยู่บนส่วนของเส้นตรง  $PQ$  แล้ว พิกัดของจุด  $R$  คือ  $R{\biggl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}{\biggr )}$

3.จุดที่แบ่งระยะทางเป็นระยะ $m:n$

ทฤษฎีบทที่ 3 กำหนดให้  $P(x_{1},y_{1})$  และ  $Q(x_{2},y_{2})$  เป็น 2 จุดใด ๆ บนระนาบ  $XY$  และให้  $R$  เป็นเป็นจุดที่แบ่งระยะทางเป็นสัดส่วนระยะ  $m:n$ ระหว่างจุด  $P$  และจุด  $Q$  ซึ่งอยู่บนส่วนของเส้นตรง  $PQ$  แล้ว พิกัดของจุด  $R$  คือ  $R{\biggl (}{\frac {nx_{1}+mx_{2}}{m+n}},{\frac {ny_{1}+my_{2}}{m+n}}{\biggr )}$

เส้นตรง (Linear)

1. ความชันของเส้นตรง

ความชัน (slope หรือ gradient) ของเส้นตรง คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของผลต่างของ $y$ เทียบกับผลต่างของ $x$ ซึ่งนิยามได้ดังนี้

บทนิยาม ให้เส้นตรง  $\ell$  เป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด   $P(x_{1},y_{1})$  และ  $Q(x_{2},y_{2})$  โดยที่  $x_{1}\neq y_{2}$  และให้  $m$  แทนความชันของเส้นตรงจะได้ว่า  $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}=tan\theta$

2. สมการเส้นตรง

สำหรับสมการเส้นตรงนั้นจะเขียนได้ 3 แบบ คือ

2.1 สมการของเส้นตรง (Linear equation)

 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$

2.2 สมการเส้นตรงในรูปมาตรฐาน (Standard Form)

 $y=mx+c$  เมื่อ  $c$  คือ ระยะตัดแกน  $Y$

2.3 สมการเส้นตรงในรูปทั่วไป (General form of linear equation)

 $Ax+By+C=0$

จากสมการ 2.3 เมื่อเทียบกับสมการ 2.2 จะได้ ความชัน คือ $m=-{\frac {A}{B}}$ และระยะตัดแกน คือ $c=-{\frac {C}{B}}$

ตัวอย่างเช่น : จงหาสมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุด $(-2,9)$ และ $(3,-11)$

วิธีทำ เนื่องจาก ความชันของเส้นตรง คือ $m={\frac {(9)-(-11)}{(-2)-(3)}}={\frac {20}{-5}}=-4$

จากสมการเส้นตรง $y-y_{1}=m(x-x_{1})$

จะได้สมการในรูปทั่วไปคือ $y-(-11)=(-4)(x-3)$

$y+11=-4x+12$

$y+4x-1=0$

และจะได้สมการในรูปมาตรฐาน คือ $y=-4x+1$

ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุด $(-2,9)$ และ $(3,-11)$ คือ $y+4x-1=0$ หรือ $y=-4x+1$ #

ความสัมพันธ์ของความชันของเส้นตรง

1. สำหรับเส้นตรง $L_{1}$ และ $L_{2}$ ใด ๆ ที่มีเส้นใดเส้นหนึ่งไม่ขนานกับแกน $X$ ถ้า $L_{1}\perp L_{2}$ (ตั้งฉากกัน) แล้ว $m_{1}m_{2}=-1$

2. สำหรับเส้นตรง $L_{1}$ และ $L_{2}$ ใด ๆ ถ้า $L_{1}\mid \mid L_{2}$ (ขนานกัน) แล้ว $m_{1}=m_{2}$

3. ถ้าเส้นตรง $L_{1}$ ขนานกับแกน $X$ แล้ว $m=0$

ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นตรงและจุด

1. ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด

ทฤษฎีบทที่ 4 ระยะห่างระหว่างเส้นตรง  $L_{1}:Ax+By+C=0$  และจุด  $(x_{1},y_{1})$  คือ  $d={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

ถ้าหาก $d=0$ แล้วนั่นหมายความว่า จุด $(x_{1},y_{1})$ อยู่บนเส้นตรง $L_{1}:Ax+By+C=0$ หรือก็คือระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดเท่ากับ $0$

2. ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานทั้งสองเส้น

ทฤษฎีบทที่ 5 ระยะห่างระหว่างเส้นตรง  $L_{1}:Ax+By+C_{1}=0$  และเส้นตรง  $L_{2}:Ax+By+C_{2}=0$  คือ  $d={\frac {|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

3. การหาพื้นที่รูป $n$ เหลี่ยม

ทฤษฎีบทที่ 6 ให้จุด  $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),...,(x_{n-1},y_{n-1})$  และ  $(x_{n},y_{n})$  พิกัดแต่ละจุดของรูป  $n$  เหลี่ยมซึ่งเริ่มนับจาก  $(x_{1},y_{1})$  จนไปถึง  $(x_{n},y_{n})$  ในทิศทางทวนเข็นนาฬิกาแล้ว                                                                                                                                                                                  สูตรการหาพื้นที่รูป  $n$  เหลี่ยม คือ  ${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\\\vdots &\vdots \\x_{n}&y_{n}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}$                                                                                                                                                                                                 โดยใช้หลักการคูณลง - คูณขึ้น เช่นเดียวกับการหาดิเทอร์มิเนนท์ของเมตริกซ์^[1]

บรรณานุกรม

https://www.gotoknow.org/posts/430327

http://scimath.org/ebook/math/m4a/vol2/

↑ https://www.gotoknow.org/posts/430327

[1] ttps://www.gotoknow.org/posts/430327

[1]

@@ บรรทัด 20: / บรรทัด 20: @@
 ซึ่งจะนับจตุภาคที่ 1 ในส่วนพื้นที่บนขวา แล้ววนทวนเข็มนาฬิกา
+<br />
 == จุด (Point) ==
@@ บรรทัด 25: / บรรทัด 27: @@
 === 1. การหาระยะห่างระหว่างจุด 2 จุด ===
+ '''ทฤษฎีบทที่ 1''' กำหนดให้ <math>P(x_{1},y_{1})</math> และ <math>Q(x_{2},y_{2})</math> เป็น 2 จุดใด ๆ บนระนาบ <math>XY</math>และให้ ''<math>|PQ|</math>'' เป็นระยะห่างระหว่างจุด ''<math>P</math>'' และจุด ''<math>Q</math>'' จะได้ว่า''<math>                                        |PQ|=\sqrt{\bigl(x_{1}-x_{2})^2+\bigl(y_{1}-y_{2}\bigr)^2}</math>''
-<blockquote>
- '''ทฤษฎีบทที่ 1'''  กำหนดให้ <math>P(x_{1},y_{1})</math> และ <math>Q(x_{2},y_{2})</math> เป็น 2 จุดใด ๆ บนระนาบ <math>XY</math>และให้ ''<math>|PQ|</math>'' เป็นระยะห่างระหว่างจุด ''<math>P</math>'' และจุด ''<math>Q</math>'' จะได้ว่า''<math>                                        |PQ|=\sqrt{\bigl(x_{1}-x_{2})^2+\bigl(y_{1}-y_{2}\bigr)^2}</math>''
-</blockquote>
 === 2. จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด ===
+ '''ทฤษฎีบทที่ 2''' กำหนดให้ <math>P(x_{1},y_{1})</math> และ <math>Q(x_{2},y_{2})</math> เป็น 2 จุดใด ๆ บนระนาบ <math>XY</math> และให้ <math>                       R</math> เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด ''<math>P</math>'' และจุด ''<math>Q</math>'' ซึ่งอยู่บนส่วนของเส้นตรง <math>PQ</math> แล้ว พิกัดของจุด ''<math>                       R</math>'' คือ <math>                       R\biggl(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\biggr)</math>
-<blockquote>
- '''ทฤษฎีบทที่ 2'''  กำหนดให้ <math>P(x_{1},y_{1})</math> และ <math>Q(x_{2},y_{2})</math> เป็น 2 จุดใด ๆ บนระนาบ <math>XY</math> และให้ <math>                       R</math> เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด ''<math>P</math>'' และจุด ''<math>Q</math>'' ซึ่งอยู่บนส่วนของเส้นตรง <math>PQ</math> แล้ว พิกัดของจุด ''<math>                       R</math>'' คือ <math>                       R\biggl(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\biggr)</math>
-</blockquote>
 === 3.จุดที่แบ่งระยะทางเป็นระยะ <math>                       m:n</math> ===
-<blockquote>
  '''ทฤษฎีบทที่ 3''' กำหนดให้ <math>P(x_{1},y_{1})</math> และ <math>Q(x_{2},y_{2})</math> เป็น 2 จุดใด ๆ บนระนาบ <math>XY</math> และให้ <math>                       R</math> เป็นเป็นจุดที่แบ่งระยะทางเป็นสัดส่วนระยะ <math>                       m:n</math>ระหว่างจุด ''<math>P</math>'' และจุด ''<math>Q</math>'' ซึ่งอยู่บนส่วนของเส้นตรง <math>PQ</math> แล้ว พิกัดของจุด ''<math>                       R</math>'' คือ <math>                       R\biggl(\frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n},\frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n}\biggr)</math>
-</blockquote>
 == เส้นตรง (Linear) ==
 === 1. ความชันของเส้นตรง ===
+'''ความชัน (slope''' หรือ '''gradient)''' ของเส้นตรง คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของผลต่างของ <math>                       y</math> เทียบกับผลต่างของ <math>                       x</math> ซึ่งนิยามได้ดังนี้
-<blockquote>
  '''บทนิยาม''' ให้เส้นตรง <math>                       \ell</math> เป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุด  <math>P(x_{1},y_{1})</math> และ <math>Q(x_{2},y_{2})</math> โดยที่ <math>x_{1}\ne y_{2}</math> และให้ <math>m</math> แทนความชันของเส้นตรงจะได้ว่า <math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=tan \theta</math>
-</blockquote>ความสัมพันธ์ของความชันของเส้นตรง
-. ถ้าเส้นตรง 2 เส้นใด ๆ ตั้งฉากกันแล้ว <math>m_{1}m_{2}=-1</math>
-. ถ้าเส้นตรง 2 เส้นใด ๆ ขนานกันแล้ว <math>m_{1}=m_{2}</math>
 === 2. สมการเส้นตรง ===
 สำหรับสมการเส้นตรงนั้นจะเขียนได้ 3 แบบ คือ
 '''2.1 สมการของเส้นตรง (Linear equation)'''
+ <math>y-y_{1}=m(x-x_{1})</math>
+'''2.2 สมการเส้นตรงในรูปมาตรฐาน (Standard Form)'''
+ '''<math>y=mx+c</math>''' เมื่อ <math>c</math> คือ ระยะตัดแกน <math>Y</math>
+'''2.3 สมการเส้นตรงในรูปทั่วไป (General form of linear equation)'''
+ '''<math>Ax+By+C=0</math>'''
+จากสมการ 2.3 เมื่อเทียบกับสมการ 2.2 จะได้ ความชัน คือ <math>m=-\frac{A}{B}</math>  และระยะตัดแกน คือ ''<math>c=-\frac{C}{B}</math>''
-<math>y-y_{1}=m(x-x_{1})</math>
-'''2.2 สมการเส้นตรงในรูปมาตรฐาน (Standard Form)'''
+'''ตัวอย่างเช่น : จงหาสมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุด <math>                       (-2,9)</math> และ <math>                       (3,-11)</math>'''
+<u>'''วิธีทำ'''</u> เนื่องจาก ความชันของเส้นตรง คือ <math>m=\frac{(9)-(-11)}{(-2)-(3)}=\frac{20}{-5}=-4</math>
-'''<math>y=mx+c</math>'''                              เมื่อ <math>c</math> คือ ระยะตัดแกน <math>Y</math>
-'''2.3 สมการเส้นตรงในรูปทั่วไป (General form of linear equation)'''
+จากสมการเส้นตรง <math>y-y_{1}=m(x-x_{1})</math>
+จะได้สมการในรูปทั่วไปคือ <math>y-(-11)=(-4)(x-3)</math>
+<math>y+11=-4x+12</math>
+<math>y+4x-1=0</math>
+และจะได้สมการในรูปมาตรฐาน คือ <math>y=-4x+1</math>
+ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุด <math>                       (-2,9)</math> และ <math>                       (3,-11)</math> คือ <math>y+4x-1=0</math> หรือ <math>y=-4x+1</math>          #
+===== ความสัมพันธ์ของความชันของเส้นตรง =====
-'''<math>Ax+By+C=0</math>'''
+. สำหรับเส้นตรง <math>L_{1}</math>และ <math>L_{2}</math> ใด ๆ ที่มีเส้นใดเส้นหนึ่งไม่ขนานกับแกน <math>X</math> ถ้า <math>L_{1}\perp L_{2}</math> (ตั้งฉากกัน) แล้ว <math>m_{1}m_{2}=-1</math>
+. สำหรับเส้นตรง <math>L_{1}</math>และ <math>L_{2}</math> ใด ๆ ถ้า <math>L_{1}\mid \mid L_{2}</math> (ขนานกัน) แล้ว <math>m_{1}=m_{2}</math>
-จากสมการ 2.3 เมื่อเทียบกับสมการ 2.2 จะได้ ความชัน คือ <math>m=-\frac{A}{B}</math>  และระยะตัดแกน คือ ''<math>c=-\frac{C}{B}</math>''
-.2  สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด <math>(x_{1},y_{1})</math> และมีความชันเท่ากับ m
+. ถ้าเส้นตรง <math>L_{1}</math> ขนานกับแกน <math>X</math> แล้ว <math>m=0</math>
- พักก่อน 25/7/62 เสร็จแน่
+== ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นตรงและจุด ==
-	m=-A/B
-ตัวอย่าง	จงหาความชันของเส้นตรง  3x + 4y - 5 = 0
-	วิธีทำ4y = -3x + 5
-			  y =  -(-3/4)x +(5/4)
-			 ความชันคือ -3/4
-.5  	เส้นตรง l1  ขนานกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1=m2
-		เส้นตรง l1  ตั้งฉากกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1m2 = -1
-.	การหาระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรง
+=== 1. ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด ===
+ '''ทฤษฎีบทที่ 4''' ระยะห่างระหว่างเส้นตรง '''<math>L_{1} : Ax+By+C=0</math>''' และจุด <math>(x_{1},y_{1})</math> คือ <math>d=\frac{|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}</math>
-กำหนดให้ l เป็นเส้นตรงที่มีสมการ  Ax + By + C = 0 และ P(x1,y1) เป็นที่อยู่นอกเส้น l ดังรูป
+ถ้าหาก <math>d=0</math> แล้วนั่นหมายความว่า จุด <math>(x_{1},y_{1})</math> อยู่บนเส้นตรง '''<math>L_{1} : Ax+By+C=0</math>''' หรือก็คือระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดเท่ากับ '''<math>0</math>'''
+=== 2. ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานทั้งสองเส้น ===
-			P(x1,y1)
+ '''ทฤษฎีบทที่ 5''' ระยะห่างระหว่างเส้นตรง '''<math>L_{1} : Ax+By+C_{1}=0</math>''' และเส้นตรง <math>L_{2} : Ax+By+C_{2}=0</math> คือ <math>d=\frac{|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}</math>
-				          d			      l
-							Ax + By + C = 0
+=== 3. การหาพื้นที่รูป <math>n</math> เหลี่ยม ===
+ '''ทฤษฎีบทที่ 6''' ให้จุด <math>(x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), (x_{3},y_{3}), ... , (x_{n-1},y_{n-1})</math> และ <math>(x_{n},y_{n})</math> พิกัดแต่ละจุดของรูป <math>n</math> เหลี่ยมซึ่งเริ่มนับจาก <math>(x_{1},y_{1})</math> จนไปถึง <math>(x_{n},y_{n})</math> ในทิศทางทวนเข็นนาฬิกาแล้ว                                                                                                                                                                                  สูตรการหาพื้นที่รูป <math>n</math> เหลี่ยม คือ <math>\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n} & y_{n} \\ x_{1} & y_{1} \end{vmatrix}</math>                                                                                                                                                                                                โดยใช้หลักการคูณลง - คูณขึ้น เช่นเดียวกับการหาดิเทอร์มิเนนท์ของเมตริกซ์<ref>https://www.gotoknow.org/posts/430327</ref>
+== บรรณานุกรม ==
-		ถ้า d เป็นระยะทางจากจุด P ไปยังเส้นตรง l
+https://www.gotoknow.org/posts/430327
+http://scimath.org/ebook/math/m4a/vol2/
-			d  =	    Ax1 + By1 + C
-				 A2 + B2
 [[หมวดหมู่:เรขาคณิตวิเคราะห์| ]]