ผู้ใช้:Robosorne/กระบะทราย 2

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง[แก้]

มีค่าได้ทุกค่าที่อยู่ระหว่าง และ


ให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนืองบน โดยที่ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า มีค่าได้ทุกค่าที่อยู่ระหว่าง และ


พิสูจน์[แก้]

กรณี และ มีเครืองหมายต่างกัน กล่าวคือ จะได้ว่ามี ซึ่ง

สมมติให้ และ และให้ เนื่องจาก ดังนั้น และกำหนดให้ ซึ่งหมายความว่า สมมุติว่าถ้า เราจะแบ่งกรณีพิจารณาได้เป็นสองกรณีดังนี้

กรณีที่หนึ่ง ถ้า


การแปลง Z ขั้นสูง

การแปลง Z ขั้นสูง Advanced Z-transform modified Z-transformเป็นการแปลง Z ที่ได้ผนวกผลของการหน่วง (delay) ที่ไม่ได้เป็นพหุคูณของอัตราการชักตัวอย่าง (sampling rate) บนโดเมนเวลาของสัญญาณ การแปลง Z ขั้นสูงถูกประยุกต์ใช้กันอย่างมากในการประมวลผลสัญญาณ (signal processing) และการควบคุมดิจิทัล (digital control) ตัวอย่างเช่น การสร้างแบบจำลองการประมวลผลสัญญาณที่รวมผลของการหน่วงเชิงเวลาแบบแม่นยำ เป็นต้น

การแปลง Z ขั้นสูง ถูกเสนอโดย จูรี่ (Eliahu Ibraham Jury)

นิยาม[แก้]

การแปลง Z ขั้นสูง มีนิยามดังต่อไปนี้

โดยที่

  • T คาบของการชักตัวอย่าง (sampling period)
  • m พารามิเตอร์การหน่วง (delay parameter) โดยที่


คุณสมบัติ[แก้]

ภาวะเชิงเส้น[แก้]

การเลือนเชิงเวลา[แก้]

การหน่วง[แก้]

การคูณเชิงเวลา[แก้]

ทฤษฎีค่าสุดท้าย[แก้]

หมายเหตุ: ในกรณีที่ พารามิเตอร์การหน่วงmเป็นคงคงที่ ในกรณีนี้คุณสมบัติของการแปลง Z แบบปรกติกับการแปลง Z ขั้นสูงจะเหมือนกันทั้งหมด

ตัวอย่าง[แก้]

ในที่นี้เรากำหนดให้

.

ถ้า แล้ว จะลดรูปกลายเป็นการแปลง Z แบบปรกติ

ซึ่งก็คือผลการแปลงการแปลง Z แบบปรกติของนั้นเอง

เพิ่มเติม[แก้]

บรรณานุกรม[แก้]

แม่แบบ:DSP



Eliahu I. Jury
ถิ่นที่อยู่ธงของสหรัฐ สหรัฐ
สาขาทฤษฎีระบบควบคุม
รางวัลที่ได้รับรางวัล ริชาร์ด อี. เบลแมน (Richard E. Bellman Control Heritage Award)

อีไลฮุ อิบาร์ฮัม จัวรี (Eliahu Ibraham Jury 23 พฤษภาคม ค.ศ. 1923 - ปัจจุบัน)[1]) is an American engineer,[2] born in Baghdad, Iraq. He received his Doctor of Engineering Science degree from Columbia University of New York in 1953. He was professor of Electrical Engineering at the University of California, Berkeley, and the University of Miami.

He developed the advanced Z-transform, used in digital control systems and signal processing.[2]

He is a Life Fellow of the IEEE[ต้องการอ้างอิง] and has received the Rufus Oldenburger Medal from the ASME,[2] the First Education Award of IEEE Circuits and Systems Society,[2] and the IEEE Millennium Medal.[2]

Bibliography[แก้]

  • Theory and Application of the z-Transform Method, John Wiley and Sons, 1964.
  • Inners and stability of dynamic systems, John Wiley & Sons, 1974

References[แก้]

  1. IEEE membership directory, Volume 1. IEEE. 2001. สืบค้นเมื่อ 29 November 2010.
  2. 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Premaratne, Kamal (2010). "Eliahu I. Jury". IEEE Control Systems Magazine. 30 (1): 72–77. doi:10.1109/MCS.2009.935223. Unknown parameter |month= ignored (help)


แม่แบบ:Richard E. Bellman Control Heritage Award 1979-2000 Laureates

[[วิกิพีเดีย:|ข้อมูลบุคคล]]
ชื่อ ศมิษฐา ฉันทวานิช Jury, Eliahu I.}
ชื่ออื่น ครูโจ้ MTFclub
รายละเอียดโดยย่อ อดีตสมาชิกสภาเขตบางคอแหลม และ ครูมวยไทยอาชีพ
วันเกิด May 23, 1923 19 ธันวาคม 2523
สถานที่เกิด Baghdad, Iraq กรุงเทพ
วันตาย
สถานที่ตาย

แม่แบบ:Iraq-academic-bio-stub


Rudolf Emil Kálmán
เกิด19 พฤษภาคม ค.ศ. 1930 (90 ปี)
Budapest, Kingdom of Hungary
ถิ่นที่อยู่United States
สัญชาติHungarian-born
American citizen
สาขาElectrical Engineering;
Mathematics;
Applied Engineering Systems Theory
สถาบันที่ทำงานStanford University;
University of Florida;
Swiss Federal Institute of Technology
ศิษย์เก่าMassachusetts Institute of Technology;
Columbia University
อาจารย์ที่ปรึกษาในระดับปริญญาเอกJohn Ragazzini
รางวัลที่ได้รับIEEE Medal of Honor;
National Medal of Science;
Charles Stark Draper Prize ;
Kyoto Prize

Rudolf (Rudy) Emil Kálmán[1] (in Hungarian Kálmán Rudolf Emil; born May 19, 1930) is a Hungarian-American electrical engineer, mathematical system theorist, and college professor, who was educated in the United States, and has done most of his work there. He is currently a retired professor from three different institutes of technology and universities. He is most noted for his co-invention and development of the Kalman filter, a mathematical formulation that is widely used in control systems, avionics, and outer space manned and unmanned vehicles. For this work, U.S. President Barack Obama awarded Kálmán with the National Medal of Science on October 7, 2009.

Biography[แก้]

Rudolf Kálmán was born in Budapest. After emigrating to the United States in 1943, he earned his bachelor's degree in 1953 and his master's degree in 1954, both from the Massachusetts Institute of Technology, in electrical engineering. Kálmán completed his doctorate in 1957 at Columbia University in New York City.

Kálmán worked as a Research Mathematician at the Research Institute for Advanced Studies in Baltimore, Maryland from 1958 until 1964. He was a professor at Stanford University from 1964 until 1971, and then a Graduate Research Professor and the Director of the Center for Mathematical System Theory, at the University of Florida from 1971 until 1992. Starting in 1973, he also held the chair of Mathematical System Theory at the Swiss Federal Institute of Technology in Zürich, Switzerland.

Kálmán is a member of the U.S. National Academy of Sciences, the American National Academy of Engineering, and the American Academy of Arts and Sciences. He is a foreign member of the Hungarian, French, and Russian Academies of Science. He has been awarded many honorary doctorates from other universities.

Kálmán received the IEEE Medal of Honor in 1974, the IEEE Centennial Medal in 1984, the Inamori foundation's Kyoto Prize in High Technology in 1985, the Steele Prize of the American Mathematical Society in 1987, the Richard E. Bellman Control Heritage Award in 1997, and the National Academy of Engineering's Charles Stark Draper Prize in 2008.

Work[แก้]

Kálmán is an electrical engineer by his undergraduate and graduate education at M.I.T. and Columbia University, and he is noted for his co-invention of the Kalman filter (or Kalman-Bucy Filter), which is a mathematical technique widely used in the digital computers of control systems, navigation systems, avionics, and outer-space vehicles to extract a signal from a long sequence of noisy and/or incomplete technical measurements, usually those done by electronic and gyroscopic systems.

Kálmán's ideas on filtering were initially met with vast skepticism, so much so that he was forced to do the first publication of his results in mechanical engineering, rather than in electrical engineering or systems engineering. Kálmán had more success in presenting his ideas, however, while visiting Stanley F. Schmidt at the NASA Ames Research Center in 1960. This led to the use of Kálmán filters during the Apollo program, and furthermore, in the NASA Space Shuttle, in Navy submarines, and in unmanned aerospace vehicles and weapons, such as cruise missiles.

References[แก้]

  1. National Science Fundation – The President's National Medal of Science: Recipient Details: RUDOLF E. KÁLMÁN

External links[แก้]

แม่แบบ:IEEE Medal of Honor Laureates 1951-1975 แม่แบบ:Richard E. Bellman Control Heritage Award 1979-2000 Laureates

[[วิกิพีเดีย:|ข้อมูลบุคคล]]
ชื่อ ศมิษฐา ฉันทวานิช Kalman, Rudolf Emil}
ชื่ออื่น ครูโจ้ MTFclub
รายละเอียดโดยย่อ อดีตสมาชิกสภาเขตบางคอแหลม และ ครูมวยไทยอาชีพ
วันเกิด May 19, 1930 19 ธันวาคม 2523
สถานที่เกิด Budapest, Hungary กรุงเทพ
วันตาย
สถานที่ตาย

คำเตือน: หลักเรียงลำดับปริยาย "Kalman, Rudolf Emil" ได้ลบล้างหลักเรียงลำดับปริยาย "Jury, Eliahu I." ที่มีอยู่ก่อนหน้า


In mathematics, Lyapunov functions are functions which can be used to prove the stability of a certain fixed point in a dynamical system or autonomous differential equation. Named after the Russian mathematician Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, Lyapunov functions are important to stability theory and control theory. A similar concept appears in the theory of general state space Markov Chains, usually under the name Lyapunov-Foster functions.

Functions which might prove the stability of some equilibrium are called Lyapunov-candidate-functions. There is no general method to construct or find a Lyapunov-candidate-function which proves the stability of an equilibrium, and the inability to find a Lyapunov function is inconclusive with respect to stability, which means, that not finding a Lyapunov function doesn't mean that the system is unstable. For dynamical systems (e.g. physical systems), conservation laws can often be used to construct a Lyapunov-candidate-function.

The basic Lyapunov theorems for autonomous systems which are directly related to Lyapunov (candidate) functions are a useful tool to prove the stability of an equilibrium of an autonomous dynamical system.

Whenever a system is stable in one of the senses given below, Lyapunov functions can always be used to prove such stability. When a system is locally exponentially stable, one can prove local exponential stability by solving the Lyapunov equation for the linearized system.

As the areas of equal stability often follow lines in 2D, the computer generated images of Lyapunov exponents are visually appealing and very popular.

Definition of a Lyapunov candidate function[แก้]

Let

be a continuous scalar function.
is a Lyapunov-candidate-function if it is a locally positive-definite function, i.e.

With being a neighborhood region around

Definition of the equilibrium point of a system[แก้]

Let

be an arbitrary autonomous dynamical system with equilibrium point :

There always exists a coordinate transformation , such that:

So the new system has an equilibrium point at the origin.

Basic Lyapunov theorems for autonomous systems[แก้]

ดูบทความหลักที่: Lyapunov stability

Let

be an equilibrium of the autonomous system

And let

be the time derivative of the Lyapunov-candidate-function .

Stable equilibrium[แก้]

If the Lyapunov-candidate-function is locally positive definite and the time derivative of the Lyapunov-candidate-function is locally negative semidefinite:

for some neighborhood of , then the equilibrium is proven to be stable.

Locally asymptotically stable equilibrium[แก้]

If the Lyapunov-candidate-function is locally positive definite and the time derivative of the Lyapunov-candidate-function is locally negative definite:

for some neighborhood of , then the equilibrium is proven to be locally asymptotically stable.

Globally asymptotically stable equilibrium[แก้]

If the Lyapunov-candidate-function is globally positive definite, radially unbounded and the time derivative of the Lyapunov-candidate-function is globally negative definite:

then the equilibrium is proven to be globally asymptotically stable.

The Lyapunov-candidate function is radially unbounded if

.

(This is also referred to as norm-coercivity.)

Example[แก้]

Consider the following differential equation with solution x on :

Considering that |x| is always positive around the origin it is a natural candidate to be a Lyapunov function to help us study x. So let on . Then,

This correctly shows that the above differential equation, x, is asymptotically stable about the origin.

See also[แก้]

References[แก้]


External links[แก้]