ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป หากแบ่ง ตามเส้นทแยงมุมของมัน เราจะได้รูปสามเหลี่ยมสี่รูปซ้อนกันอยู่ (เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นทำให้เกิดสามเหลี่ยมขึ้นมา 2 อัน นั้นคือ ) จะรูปจะเห็นว่าจุดศุนย์กลางของวงกลมที่อยู่บรรจุอยุ่ภายในสามเหลี่ยมทั้งสี่ เป็นจุดยอดของสีเหลี่ยมผื้นผ้าอีกทีหนึ่ง

ใน เรขาคณิต ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (อังกฤษ: Japanese theorem for cyclic quadrilaterals) คือทฤษฎีที่ระบุว่า จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุในสามเหลี่ยมหนึ่งๆได้ (incircle of a triangle)[1][ค] และสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม[ก] [ข] (Cyclic quadrilaterals) ได้อีกทีหนึ่ง จุดศูนย์กลางของวงกลมดังที่กล่าวมาจะเป็นคือจุดยอด (Vertex) ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า [2] [3]

พิสูจน์ [4][แก้]

รูปที่ใช้ในการอธิบายการพิสูจน์

โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป กำหนดให้ คือรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (ดังภาพ) และกำหนดให้ เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านประกอบสามเหลี่ยมใดๆทั้งสามด้านได้ (ดังภาพ) ในที่นี้ คือวงกลมที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยม ตามลำดับ

จากรูปจะเห็นว่า เพราะเป็นมุมด้านตรงข้ามส่วนของวงกลม AD อันเดียวกัน และกำหนดให้
จาก จะพบว่า
จาก จะพบว่า
เนื่องจาก ดังนั้น เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ซึ่งในที่นี้คือวงกลมสีเขียว
เนื่องจาก เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมแล้วดังนั้นจะได้ว่า (มุมสีแดงทึบ) มีค่าเท่ากับ
[ค] เพราะเป็นคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม [5]
ในทำนองเดียวกัน เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมของวงกลมสีส้มดังรูป
เนื่องจาก เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม แล้วดังนั้นจะได้ว่า (มุมสีฟ้าทึบ) มีค่าเท่ากับ
[ค] ด้วยเหตุผลเดียวกับที่อ้างข้างต้นกับมุม
เนื่องจาก เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ดังนั้นมุมด้านของจุดยอดตรงข้ามกันมีผลรวมเป็น 180 องศา [6]
จากข้อมูลทั้งหมดข้างต้นเราจะได้ว่ามุม ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบ มีค่าเท่ากับ ซึ่งจะได้ว่ามุม ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบเป็นมุมฉาก
ในทำนองเดียวกับการพิสูจน์ข้างต้นเราจะพบว่า มุม , และ เป็นมุมฉากเช่นเดียวกัน
ดังนั้นแสดงว่า เป็นสี่เหลี่ยมผื่นผ้า ซตพ.

หมายเหตุ[แก้]

. ^ ศัพท์บัญญัติราชบัณฑิตยสถาน คณิตศาสตร์ ๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗
. ^ รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilaterals) คือรูปสี่เหลี่ยมใดๆที่มีจุดยอดทั้งสีอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม [7]
. ^ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม (Incircle center) นั้นมีคุณสมบัติคือ [6]
  • เป็นจุดเดียวกับจุดตัดของเส้นแบ่งมุมของสามเหลี่ยมแต่ละด้าน (Bisector) [8]
  • จะอยู่ภายในสามเหลี่ยมที่วงกลมนั้นถูกบรรจุอยู่ตลอด


ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]