ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม

โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป หากแบ่ง $\square ABCD$ ตามเส้นทแยงมุมของมัน เราจะได้รูปสามเหลี่ยมสี่รูปซ้อนกันอยู่ (เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นทำให้เกิดสามเหลี่ยมขึ้นมา 2 อัน นั้นคือ $\triangle ABD,\triangle ABC,\triangle BCD,\triangle ACD$ ) จะรูปจะเห็นว่าจุดศุนย์กลางของวงกลมที่อยู่บรรจุอยุ่ภายในสามเหลี่ยมทั้งสี่ เป็นจุดยอดของสีเหลี่ยมผื้นผ้าอีกทีหนึ่ง

ใน เรขาคณิต ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (อังกฤษ: Japanese theorem for cyclic quadrilaterals) คือทฤษฎีที่ระบุว่า จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุในสามเหลี่ยมหนึ่งๆได้ (incircle of a triangle)^[ค] และสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม^{[ก] [ข]} (Cyclic quadrilaterals) ได้อีกทีหนึ่ง จุดศูนย์กลางของวงกลมดังที่กล่าวมาจะเป็นคือจุดยอด (Vertex) ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พิสูจน์

รูปที่ใช้ในการอธิบายการพิสูจน์

โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป กำหนดให้ $\square ABCD$ คือรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (ดังภาพ) และกำหนดให้ $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$ เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านประกอบสามเหลี่ยมใดๆทั้งสามด้านได้ (ดังภาพ) ในที่นี้ $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$ คือวงกลมที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยม $\triangle ABD,\triangle ABC,\triangle BCD,\triangle ACD$ ตามลำดับ

จากรูปจะเห็นว่า $\angle ACD=\angle ABD$ เพราะเป็นมุมด้านตรงข้ามส่วนของวงกลม AD อันเดียวกัน และกำหนดให้ $\angle C=\angle B=\alpha ={\frac {AD}{2}}$

จาก $\triangle ACD$ จะพบว่า $\angle AM_{4}D=90+{\frac {\alpha }{2}}$

จาก $\triangle ADB$ จะพบว่า $\angle AM_{1}D=90+{\frac {\alpha }{2}}$

เนื่องจาก $\angle AM_{4}D=\angle AM_{1}D=90+{\frac {\alpha }{2}}$ ดังนั้น $\square AM_{1}M_{4}D$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ซึ่งในที่นี้คือวงกลมสีเขียว

เนื่องจาก $\square AM_{1}M_{4}D$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมแล้วดังนั้นจะได้ว่า $\angle M_{1}$ (มุมสีแดงทึบ) มีค่าเท่ากับ

$\angle ADM_{4}=\angle {\frac {ADC}{2}}$^[ค] เพราะเป็นคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม

ในทำนองเดียวกัน $\square AM_{1}M_{2}B$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมของวงกลมสีส้มดังรูป

เนื่องจาก $\square AM_{1}M_{2}B$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม แล้วดังนั้นจะได้ว่า $\angle M_{1}$ (มุมสีฟ้าทึบ) มีค่าเท่ากับ

$\angle ABM_{2}=\angle {\frac {ABC}{2}}$ ^[ค] ด้วยเหตุผลเดียวกับที่อ้างข้างต้นกับมุม $\angle M_{1}$

เนื่องจาก $\square ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ดังนั้นมุมด้านของจุดยอดตรงข้ามกันมีผลรวมเป็น 180 องศา

$\angle ABC+\angle ADC=180$

จากข้อมูลทั้งหมดข้างต้นเราจะได้ว่ามุม $\angle M_{1}$ ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบ มีค่าเท่ากับ $\angle ABM_{2}+\angle ADM_{4}=\angle {\frac {ABC}{2}}+\angle {\frac {ADC}{2}}={\frac {\angle ABC+\angle ADC}{2}}={\frac {180}{2}}=90$ ซึ่งจะได้ว่ามุม $\angle M_{1}$ ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบเป็นมุมฉาก

ในทำนองเดียวกับการพิสูจน์ข้างต้นเราจะพบว่า มุม $\angle M_{2}$, $\angle M_{3}$ และ $\angle M_{4}$ เป็นมุมฉากเช่นเดียวกัน

ดังนั้นแสดงว่า $\square M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}$ เป็นสี่เหลี่ยมผื่นผ้า ซตพ.

หมายเหตุ

ก. ^{^} ศัพท์บัญญัติราชบัณฑิตยสถาน คณิตศาสตร์ ๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗

ข. ^{^} รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilaterals) คือรูปสี่เหลี่ยมใดๆที่มีจุดยอดทั้งสีอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม

ค. ^{^} จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม (Incircle center) นั้นมีคุณสมบัติคือ

• เป็นจุดเดียวกับจุดตัดของเส้นแบ่งมุมของสามเหลี่ยมแต่ละด้าน (Bisector)
• จะอยู่ภายในสามเหลี่ยมที่วงกลมนั้นถูกบรรจุอยู่ตลอด

ดูเพิ่ม

• Carnot's theorem
• Sangaku
• Wasan