ผู้ใช้:Prame tan/ทฤษฎีบทมอร์ดูลาริตี

ทฤษฎีบทมอร์ดูลาริตี (อังกฤษ: Modularity theorem) หรือชื่อเดิมเรียกว่า ข้อความคาดการณ์ของทานิยามะ-ชิมูระ (อังกฤษ: Taniyama—Shimura Conjecture), ข้อความคาดการณ์ของทานิยามะ-แวย์ (อังกฤษ: Taniyama—Weil Conjecture) หรือ ข้อความคาดการณ์มอร์ดูลาริตีสำหรับเส้นโค้งเชิงวงรี (อังกฤษ: Modularity Conjecture for Elliptic Curves) กล่าวว่าเส้นโค้งวงรีเหนือฟีลด์ของจำนวนตรรกยะเชื่อมโยงด้วยกันกับมอดูลาร์ฟอร์ม

แอนดรูว์ ไวลส์ พิสูจน์ทฤษฎีบทมอร์ดูลาริตีสำหรับเส้นโค้งเชิงวงรีกึ่งเสถียร (semistable elliptic curve) ซึ่งเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา ในภายหลัง ไบรอัน คอนราด ลูกศิษย์ของไวลส์ ร่วมกับ เฟรด ไดอามอนด์, ริชาร์ด เทย์เลอร์ และ คริสต็อฟ เบรย ได้ขยายเทคนิคของไวลส์เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทมอร์ดูลาริตีแบบสมบูรณ์ในปี พ.ศ. 2544

เนื้อความของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทกล่าวว่า เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ $\mathbf {Q}$ ใด ๆ สามารถหาได้จากการส่งตรรกยะที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มจากเส้นโค้งมอดูลาร์แบบคลาสสิก $X_{0}(N)$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $N$ (นี่คือเส้นโค้งที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มพร้อมคำจำกัดความที่ชัดเจน)

การทำแผนที่นี้เรียกว่าการกำหนดพารามิเตอร์แบบแยกส่วนของระดับ $N$ . ถ้า $N$ เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่สามารถหาค่าพารามิเตอร์ดังกล่าวได้ (ซึ่งโดยทฤษฎีบทโมดูลาร์เองซึ่งตอนนี้ทราบแล้วว่าเป็นตัวเลขที่เรียกว่า ตัวนำ ) จากนั้นพารามิเตอร์กำหนดพารามิเตอร์อาจถูกกำหนดในแง่ของการทำแผนที่ที่สร้างโดยรูปแบบโมดูลาร์เฉพาะ ของน้ำหนักสองและระดับ $N$ , นิวฟอร์ม ปกติที่มีจำนวนเต็ม $q$ -ขยาย ตามด้วยถ้าจำเป็นโดย isogeny

ประวัติ

ยูทากะ ทานิยามะ ตั้งข้อความคาดการณ์มอดูลาริตีในแบบแรก (ที่ยังไม่ถูกต้องเท่าใดนัก) เสนอในงานประชุมสัมมนาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตระดับนานาชาติที่โตเกียวและนิกโกในปี ค.ศ. 1995 โกโระ ชิมูระ และทานิยามะร่วมกันปรับปรุงเนื้อความของข้อความคาดการณ์มาโดยตลอดจนถึงปี 1957

ในภายหลังอองเดร แวย์ ค้นพบการคาดเดาอีกครั้งและแสดงให้เห็นว่ามันจะเป็นไปตามสมการเชิงฟังก์ชัน (ที่คาดเดา) สำหรับการบิดเบี้ยวบางอย่าง $L$ -อนุกรมของเส้นโค้งวงรี นี่เป็นหลักฐานจริงจังครั้งแรกที่การคาดเดาอาจเป็นจริง Weil ยังแสดงให้เห็นว่าตัวนำของเส้นโค้งวงรีควรเป็นระดับของรูปแบบโมดูลาร์ที่สอดคล้องกัน การคาดเดาของ Taniyama–Shimura–Weil กลายเป็นส่วนหนึ่งของ โปรแกรม Langlands