ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (อังกฤษ: Product measure) ในทฤษฎีเมเชอร์ กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่า "ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ" (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้างเซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณจากสองปริภูมิทอพอโลยีนั่นเอง

นิยามทางคณิตศาสตร์[แก้]

กำหนด  (X_1, \Sigma_1, \mu_1) และ  (X_2, \Sigma_2, \mu_2) เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ  (X_1 \times X_2, \Sigma_1 \times \Sigma_2, \mu_1 \times \mu_2) ดังนี้

  1. X_1 \times X_2 คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ X_1 และ X_2
  2. พีชคณิตซิกมาผลคูณ: \Sigma_1 \times \Sigma_2 คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี A_1 \times A_2 เป็นสมาชิก โดย A_1 \in \Sigma_1 และ A_2 \in \Sigma_2 .
  3. เมเชอร์ผลคูณ: \mu_1 \times \mu_2 นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ
 (\mu_1 \times \mu_2) (B_1 \times B_2) = \mu_1 (B_1) \mu_2 (B_2) เมื่อ
 B_1 \in \Sigma_1,\ B_2 \in \Sigma_2.

โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า \mu_1 \times \mu_2 มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ

 (\mu_1 \times \mu_2) (E) = \int_{X_2} \mu_1 (E^y) \,d\mu_2 = \int_{X_1} \mu_2 (E_{x}) \,d\mu_1,

สำหรับทุก ๆ เซตหาเมเชอร์ได้ E โดย Ex = {yX2| (x,y) ∈E}, และ Ey = {xX1| (x,y) ∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.