ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ

ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (อังกฤษ: Product measure) ในทฤษฎีเมเชอร์ กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่า "ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ" (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้างเซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณจากสองปริภูมิทอพอโลยีนั่นเอง

นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด $(X_1, \Sigma_1, \mu_1)$ และ $(X_2, \Sigma_2, \mu_2)$ เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ $(X_1 \times X_2, \Sigma_1 \times \Sigma_2, \mu_1 \times \mu_2)$ ดังนี้

1. $X_1 \times X_2$ คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ $X_1$ และ $X_2$
2. พีชคณิตซิกมาผลคูณ: $\Sigma_1 \times \Sigma_2$ คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี $A_1 \times A_2$ เป็นสมาชิก โดย $A_1 \in \Sigma_1$ และ $A_2 \in \Sigma_2$.
3. เมเชอร์ผลคูณ: $\mu_1 \times \mu_2$ นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ

$(\mu_1 \times \mu_2) (B_1 \times B_2) = \mu_1 (B_1) \mu_2 (B_2)$ เมื่อ

$B_1 \in \Sigma_1,\ B_2 \in \Sigma_2.$

โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า $\mu_1 \times \mu_2$ มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ

$(\mu_1 \times \mu_2) (E) = \int_{X_2} \mu_1 (E^y) \,d\mu_2 = \int_{X_1} \mu_2 (E_{x}) \,d\mu_1,$

สำหรับทุก ๆ เซตหาเมเชอร์ได้ E โดย E_x = {y∈X₂| (x,y) ∈E}, และ E^y = {x∈X₁| (x,y) ∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.