พีชคณิตซิกมา

ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตซิกมา หรือ ซิกมาแอลจีบรา หรือ ซิกมาฟิลด์ (สัญกรณ์ที่นิยมใช้: σ-algebra) ที่นิยามบนเซต X คือ สับเซตของพาวเวอร์เซตของ X ที่มีเซตว่างเป็นสมาชิก และมีคุณสมบัติปิดภายใต้ คอมพลีเมนต์ และการยูเนียนแบบนับได้. พีชคณิตซิกมาเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่ใช้มากในคณิตวิเคราะห์และทฤษฎีความน่าจะเป็น.

นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด $\Sigma \subseteq 2^X$, เราจะกล่าวว่า $\Sigma$ เป็นพีชคณิตซิกมาบน $X$ ก็ต่อเมื่อ $\Sigma$ มีคุณสมบัติต่อไปนี้

1. $\varnothing \in \Sigma$
2. ถ้า $E \in \Sigma$ แล้ว, $E^c \in \Sigma$ ด้วย
3. ถ้า $E_1, E_2, E_3, ... \in \Sigma$ แล้ว $\bigcup_{n=1}^\infty E_n \in \Sigma$ ด้วย

หมายเหตุ

1. การจะนิยามพีชคณิตซิกมา ต้องกำหนดเสมอว่านิยามบนเซตใด (เช่น $X$ ในตัวอย่างข้างบน) มิฉะนั้นจะไม่มีความหมายในทางคณิตศาสตร์.
2. จากนิยามในข้อ 2 และ 3 เราจะได้ว่าพีชคณิตซิกมามีคุณสมบัติปิดภายใต้อินเตอร์เซกชันแบบนับได้ด้วย เนื่องจาก $\bigcap_{n=1}^\infty E_n = (\bigcup_{n=1}^\infty E_n^c) ^c$
3. ในทฤษฎีเมเชอร์นั้น สมาชิกของ $\Sigma$ ใด ๆ จะถูกเรียกว่า เซตหาเมเชอร์ได้ และยังเรียกสัญกรณ์ $(X,\Sigma)$ ว่า ปริภูมิหาเมเชอร์ได้ (โดย ฟังก์ชันเมเชอร์ จะต้องนิยามบนปริภูมินี้ เพื่อนิยามเมเชอร์ในรูปแบบต่าง ๆ ในปริภูมิที่สามารถวัดได้นี้: ดู ทฤษฎีเมเชอร์)
4. ในทางทฤษฎีความน่าจะเป็น มักจะนิยามปริภูมิที่สามารถหาเมเชอร์ได้ ด้วย $(\Omega,\mathfrak{F})$ เนื่องจาก $X$ มักจะใช้แทนตัวแปรสุ่ม และ $\Sigma$ มักใช้แทนการหาอนุกรม. นอกจากนี้ยังมักเรียกพีชคณิตซิกมา ว่า ซิกมาฟิลด์ มี่ที่มาจาก ฟิลด์ของเซต และสัญกรณ์ σ (ซิกมา) ที่มักใช้แทนความหมายของการยูเนียนแบบนับได้.

ตัวอย่าง

1. กำหนด $X$ เป็นเซตใด ๆ. เราจะได้ว่า $\{X,\varnothing\}$เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดบน $X$, และ $2^X$ เป็นพีชคณิตซิกมาที่ใหญ่ที่สุดบน $X$
2. กำหนด $\{\Sigma_\alpha\}$ ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาบน $X$ เราจะได้ว่า $\bigcap_{\alpha} \Sigma_\alpha$ เป็นพีชคณิตซิกมาบน $X$ ด้วย
3. (แสดงการประยุกต์ใช้ตัวอย่าง 2.) กำหนดให้ $\{ \Sigma_\alpha \}$ ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาทั้งหมดที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก และนิยามบน $X$ ซึ่งเป็นปริภูมิทอพอโลยีใด ๆ เราจะเรียก $\bigcap_{\alpha} \Sigma_\alpha$ ว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล (Borel σ-algebra) ซึ่งเป็นหนึ่งในพีชคณิตซิกมาที่สำคัญและพบเจอบ่อยที่สุด. สังเกตว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล นี้เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุด ที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก (เนื่องจากเกิดจากอินเตอร์เซกชันของพีชคณิตซิกมาทุกรูปแบบที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก). เรามักเรียก พีชคณิตซิกมาของโบเรล ว่าพีชคณิตซิกมาที่สร้างจากเซตเปิด.
4. ในปริภูมิยุคลิด $\mathbb{R}^n$ อองรี เลอเบ็กได้กำหนดพีชคณิตซิกมาที่สำคัญมากเพื่อใช้ในเมเชอร์ ความยาว พื้นที่ ปริมาตร ฯลฯ ในทฤษฎีปริพันธ์ของเลอเบ็ก นั่นคือ พีชคณิตซิกมาของเลอเบ็ก โดยมี พีชคณิตซิกมาของโบเรล เป็นสับเซต. สมาชิกในพีชคณิตซิกมาชนิดนี้เรียกว่า เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก. โดยในทฤษฎีปริพันธ์บนปริภูมิยุคลิด พีชคณิตซิกมานี้สำคัญมาก ถึงขนาดที่ว่านักคณิตศาสตร์หลายท่านใช้คำว่า เซตที่สามารถวัดได้ แทน เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก เลยทีเดียว.

ดูเพิ่ม

• ฟิลด์ของเซต
• ทฤษฎีเมเชอร์
• สัจพจน์ความน่าจะเป็น