พีชคณิตซิกมา

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตซิกมา หรือ ซิกมาแอลจีบรา หรือ ซิกมาฟิลด์ (สัญกรณ์ที่นิยมใช้: σ-algebra) ที่นิยามบนเซต X คือ สับเซตของพาวเวอร์เซตของ X ที่มีเซตว่างเป็นสมาชิก และมีคุณสมบัติปิดภายใต้ คอมพลีเมนต์ และการยูเนียนแบบนับได้. พีชคณิตซิกมาเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่ใช้มากในคณิตวิเคราะห์และทฤษฎีความน่าจะเป็น.

นิยามทางคณิตศาสตร์[แก้]

กำหนด \Sigma \subseteq 2^X, เราจะกล่าวว่า \Sigma เป็นพีชคณิตซิกมาบน X ก็ต่อเมื่อ \Sigma มีคุณสมบัติต่อไปนี้

  1.  \varnothing \in \Sigma
  2. ถ้า E \in \Sigma แล้ว, E^c \in \Sigma ด้วย
  3. ถ้า E_1, E_2, E_3, ... \in \Sigma แล้ว \bigcup_{n=1}^\infty E_n \in \Sigma ด้วย

หมายเหตุ[แก้]

  1. การจะนิยามพีชคณิตซิกมา ต้องกำหนดเสมอว่านิยามบนเซตใด (เช่น X ในตัวอย่างข้างบน) มิฉะนั้นจะไม่มีความหมายในทางคณิตศาสตร์.
  2. จากนิยามในข้อ 2 และ 3 เราจะได้ว่าพีชคณิตซิกมามีคุณสมบัติปิดภายใต้อินเตอร์เซกชันแบบนับได้ด้วย เนื่องจาก \bigcap_{n=1}^\infty E_n = (\bigcup_{n=1}^\infty E_n^c) ^c
  3. ในทฤษฎีเมเชอร์นั้น สมาชิกของ \Sigma ใด ๆ จะถูกเรียกว่า เซตหาเมเชอร์ได้ และยังเรียกสัญกรณ์  (X,\Sigma) ว่า ปริภูมิหาเมเชอร์ได้ (โดย ฟังก์ชันเมเชอร์ จะต้องนิยามบนปริภูมินี้ เพื่อนิยามเมเชอร์ในรูปแบบต่าง ๆ ในปริภูมิที่สามารถวัดได้นี้: ดู ทฤษฎีเมเชอร์)
  4. ในทางทฤษฎีความน่าจะเป็น มักจะนิยามปริภูมิที่สามารถหาเมเชอร์ได้ ด้วย  (\Omega,\mathfrak{F}) เนื่องจาก X มักจะใช้แทนตัวแปรสุ่ม และ \Sigma มักใช้แทนการหาอนุกรม. นอกจากนี้ยังมักเรียกพีชคณิตซิกมา ว่า ซิกมาฟิลด์ มี่ที่มาจาก ฟิลด์ของเซต และสัญกรณ์ σ (ซิกมา) ที่มักใช้แทนความหมายของการยูเนียนแบบนับได้.

???

ตัวอย่าง[แก้]

  1. กำหนด X เป็นเซตใด ๆ. เราจะได้ว่า \{X,\varnothing\}เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดบน X, และ 2^X เป็นพีชคณิตซิกมาที่ใหญ่ที่สุดบน X
  2. กำหนด \{\Sigma_\alpha\} ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาบน X เราจะได้ว่า \bigcap_{\alpha} \Sigma_\alpha เป็นพีชคณิตซิกมาบน X ด้วย
  3. (แสดงการประยุกต์ใช้ตัวอย่าง 2.) กำหนดให้ \{ \Sigma_\alpha \} ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาทั้งหมดที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก และนิยามบน X ซึ่งเป็นปริภูมิทอพอโลยีใด ๆ เราจะเรียก \bigcap_{\alpha} \Sigma_\alpha ว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล (Borel σ-algebra) ซึ่งเป็นหนึ่งในพีชคณิตซิกมาที่สำคัญและพบเจอบ่อยที่สุด. สังเกตว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล นี้เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุด ที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก (เนื่องจากเกิดจากอินเตอร์เซกชันของพีชคณิตซิกมาทุกรูปแบบที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก). เรามักเรียก พีชคณิตซิกมาของโบเรล ว่าพีชคณิตซิกมาที่สร้างจากเซตเปิด.
  4. ในปริภูมิยุคลิด \mathbb{R}^n อองรี เลอเบ็กได้กำหนดพีชคณิตซิกมาที่สำคัญมากเพื่อใช้ในเมเชอร์ ความยาว พื้นที่ ปริมาตร ฯลฯ ในทฤษฎีปริพันธ์ของเลอเบ็ก นั่นคือ พีชคณิตซิกมาของเลอเบ็ก โดยมี พีชคณิตซิกมาของโบเรล เป็นสับเซต. สมาชิกในพีชคณิตซิกมาชนิดนี้เรียกว่า เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก. โดยในทฤษฎีปริพันธ์บนปริภูมิยุคลิด พีชคณิตซิกมานี้สำคัญมาก ถึงขนาดที่ว่านักคณิตศาสตร์หลายท่านใช้คำว่า เซตที่สามารถวัดได้ แทน เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก เลยทีเดียว.

ดูเพิ่ม[แก้]