ทอรัส (เรขาคณิต)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
"torus" เปลี่ยนทางมาที่นี่ สำหรับความหมายอื่น ดูที่ ทอรัส
ทอรัส

ทอรัส หรือ โทรัส (อังกฤษ: torus, พหูพจน์: tori) หรือ ทรงห่วงยาง คือผิวของการหมุนรอบชนิดหนึ่ง สร้างขึ้นจากการหมุนรูปวงกลมในปริภูมิสามมิติ รอบแกนเส้นตรงที่อยู่ในระนาบเดียวกันกับรูปวงกลม แต่ไม่ได้สัมผัสหรือตัดกับรูปวงกลม ตัวอย่างของวัตถุที่มีพื้นผิวอย่างทอรัสเช่น โดนัท และยางในของรถยนต์ (ห่วงยาง) ทรงตันหรือที่ว่างซึ่งบรรจุอยู่ภายในพื้นผิวจะเรียกว่า ทอรอยด์ (toroid)

รูปวงกลมที่หมุนรอบคอร์ด (เส้นตรงที่ตัดรูปวงกลม) อาจถูกเรียกว่าทอรัสในบางบริบท ซึ่งไม่ใช่การใช้งานโดยปกติในทางคณิตศาสตร์ รูปร่างที่เกิดขึ้นจากรูปวงกลมที่หมุนรอบคอร์ดจะมีลักษณะคล้ายหมอนกลมที่บุ๋มตรงกลาง ซึ่งคำว่า torus ในภาษาละตินแปลว่าหมอนนั่นเอง

ในทางเรขาคณิต[แก้]

พื้นผิวทอรัสสามารถนิยามได้ด้วยสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้

x (u, v) =  (R + r \cos{v}) \cos{u} \,
y (u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \,
z (u, v) =  r \sin{v} \,

เมื่อ

  • u, v มีค่าอยู่ในช่วง [0, 2π]
  • R คือระยะจากจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ ไปยังจุดศูนย์กลางของทอรัส
  • r คือระยะจากจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ ไปตั้งฉากกับพื้นผิว (รัศมีของทอรอยด์)

ส่วนสมการในพิกัดคาร์ทีเซียนของทอรัสที่มีแกน z เป็นแกนหมุนคือ

\left (R - \sqrt{x^2 + y^2}\right) ^2 + z^2 = r^2 \,\!

ซึ่งเมื่อลดรูปรากที่สอง จะทำให้เกิดเป็นสมการกำลังสี่ดังนี้

 (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2) ^2 = 4R^2 (x^2+y^2) \,\!

พื้นที่ผิวและปริมาตรภายในของทอรัส สามารถคำนวณได้จาก

A = 4 \pi^2 R r = \left ( 2\pi r \right) \left ( 2 \pi R \right) \,
V = 2 \pi^2 R r^2 = \left ( \pi r^2 \right) \left ( 2\pi R \right) \,

สูตรเหล่านี้เหมือนกับสูตรพื้นที่ผิวข้างและปริมาตรของทรงกระบอกที่มีความยาว 2πR และมีรัศมี r ซึ่งสามารถสร้างได้จากการตัดทอรอยด์ออกข้างหนึ่งตามแนวขวาง แล้วดึงออกให้เป็นทรงกระบอกแนวตรง โดยให้มีความยาวเท่ากับเส้นรอบวงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ พื้นที่ผิวและปริมาตรที่หายไปของผิวโค้งด้านใน จะเท่ากับพื้นที่ผิวและปริมาตรส่วนเกินของผิวโค้งด้านนอกอย่างพอดี

ในทางทอพอโลยี[แก้]

ทอรัสคือผลคูณของรูปวงกลมสองวง

ทอรัสในทางทอพอโลยี คือผิวปิดที่นิยามโดยผลคูณของรูปวงกลมสองวง S1 × S1 หรืออาจมองได้ว่าทอรัสวางตัวอยู่ใน C2 และเป็นเซตย่อยของทรงกลมสี่มิติ (3-sphere) S3 ที่มีรัศมี √2 ทอรัสในลักษณะนี้มักจะเรียกว่า คลิฟฟอร์ดทอรัส (Clifford torus) ในความเป็นจริงแล้ว S3 ถูกบรรจุเติมเต็มด้วยกลุ่มของทอรัสเป็นโครงข่าย ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่สำคัญในการศึกษา S3 ที่เป็นมัดเส้นใย (fiber bundle) บน S2 (นั่นคือ มัดเส้นใยฮอปฟ์ Hopf bundle)