ขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ

ขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ (อังกฤษ: Hopcroft–Karp algorithm) เป็นขั้นตอนวิธี ที่มีข้อมูลนำเข้าเป็นกราฟสองส่วน และมีผลลัพธ์เป็นจำนวนการจับคู่ที่มากที่สุด นั่นคือเซ็ตของเส้นเชื่อมที่มากที่สุดที่เป็นไปได้โดยที่ไม่มีเส้นเชื่อมสองเส้นที่ต่างกันใดๆ เชื่อมไปยังจุดเดียวกัน ใช้เวลาในการทำงานเป็น $O(m\sqrt n)$ ในกรณีแย่สุด, โดย $O$ คือ สัญกรณ์โอใหญ่, $m$ คือ จำนวนของเส้นเชื่อมในกราฟ, และ $n$ คือจำนวนจุดในกราฟ สำหรับกราฟซับซ้อน ใช้เวลาในการทำงานเป็น $O(n^{\frac{5}{2}})$ และสำหรับกราฟแบบสุ่ม ใช้เวลาในการทำงานเป็นเชิงเส้น

ขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พคิดค้นโดยจอห์น ฮอปครอฟท์และริชาร์ด คาร์พ เป็นขั้นตอนวิธีสำหรับการจับคู่เช่นเดียวกับขั้นตอนวิธีฮังกาเรียนและเอ็ดมอนส์ (1993) ขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พทำโดยการเพิ่มขนาดของการจับคู่ซ้ำๆโดยการหาวิถีแต่งเติม ใช้การวนซ้ำ $O(\sqrt n)$ รอบ โดนหลักการเดียวกันนี้ยังใช้พัฒนาขั้นตอนวิธีที่ซับซ้อนขึ้นสำหรับการจับคู่ในกราฟที่ไม่ใช่กราฟสองส่วน โดยใช้เวลาในการทำงานเหมือนกับขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ

วิถีแต่งเติม

แนวคิดพื้นฐานของขั้นตอนวิธีนี้ขึ้นอยู่กับวิถีแต่งเติม

จุดอิสระ คือ จุดที่ไม่เชื่อมต่อกับเส้นเชื่อมใดๆ ในการจับคู่ $M$

วิถีแต่งเติม คือ วิถีที่เริ่มต้นจากจุดอิสระไปยังจุดอิสระ โดยวิถีนี้ จะผ่านเส้นเชื่อมทั้งที่มีการจับคู่อยู่แล้วและยังไม่มีการจับคู่สลับกันไป

$n$ คือ ขนาดของการจับคู่ $M$

$P$ คือ วิถีแต่งเติมที่สัมพันธ์กับ $M$

จะได้ว่า ผลต่างสมมาตรของเซ็ตของเส้นเชื่อม $M \oplus P$ ทำให้เกิดการจับคู่ที่มีขนาด $n+1$ ดังนั้น จะใช้วิถีแต่งเติมเพื่อขยายขนาดของการจับคู่ได้

ในทางกลับกัน สมมติว่าการจับคู่ $M$ ไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุด ให้ผลต่างสมมาตร $P = M \oplus M^*$ โดย $M^*$ คือการจับคู่ที่ดีที่สุด จะได้ $P$ คือวิถีแต่งเติมหลายๆวิถีที่ไม่ต่อเนื่องกัน และจำนวนวิถีใน $P$ เท่ากับความแตกต่างของขนาดของ $M$ และ $M*$ ดังนั้น จะหยุดขั้นตอนวิธีนี้และจะได้การจับคู่ $M$ ที่ดีที่สุดเมื่อไม่สามาถหาวิถีแต่งเติมได้

วิถีแต่งเติมในปัญหาการจับคู่ มีลักษณะคล้ายกับวิถีแต่งเติมในปัญหาการไหลมากสุด นั่นคือวิถีแต่งเติมจะเพิ่มขนาดของการไหล โดยสามารถเปลี่ยนแปลงปัญหาการจับคู่กราฟสองส่วนเป็นปัญหาการไหลมากสุดได้ เช่น การเปลี่ยนวิถีทดแทนในปัญหาการจับคู่เป็นวิถีแต่งเติมในปัญหาการไหล การนำเทคนิคที่ใช้ในขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ ไปใช้ในข่ายงานการไหล รู้จักกันในชื่อขั้นตอนวิธีของดีนิซ

ขั้นตอนวิธี

ให้ $U$ และ $V$เป็นเซ็ตที่แบ่งกราฟสองส่วน $G$ ออกเป็นสองส่วน และให้เซ็ต $M$ แสดงการจับคู่ใดๆจาก $U$ ไปยัง $V$

ขั้นตอนวิธีนี้แบ่งการทำงานเป็นวัฏภาค โดยทุกๆวัฏภาคมีขั้นตอนดังนี้

• ใช้การค้นหาตามแนวกว้างแบ่งจุดในกราฟเป็นชั้น โดยเริ่มต้นค้นหาจากจุดอิสระใน $U$ และถือว่าจุดที่เริ่มค้นหาเป็นชั้นแรก ในระดับแรกของการค้นหาตามแนวกว้างจะมีการท่องไปยังเส้นเชื่อมที่ไม่มีการจับคู่เท่านั้น (นั่นคือ $U$ ไม่มีการเชื่อมต่อกับเส้นเชื่อมที่มีการจับคู่ใดๆ) และในระดับต่อๆไปของการค้นหาตามแนวกว้าง การท่องไปในเส้นเชื่อมจะต้องทำระหว่างเส้นเชื่อมที่มีการจับคู่และเส้นเชื่อมที่ไม่มีการจับคู่ นั่นคือ เมื่อการค้นหาสิ้นสุดลง จากจุดใน $U$ จะท่องไปในเส้นเชื่อมที่ไม่มีการจับคู่เท่านั้น แต่จากจุดใน $V$ จะท่องไปในเส้นเชื่อมที่มีการจับคู่แล้วเท่านั้น การค้นหาจะสิ้นสุดเมื่อพบชั้นแรกที่มีจุดอิสระใน $V$ ที่ถูกเข้าถึงแล้วอย่างน้อยหนึ่งจุด กำหนดให้เป็นชั้น $k$
• นำทุกๆจุดอิสระใน $V$ ที่ระดับชั้น $k$ ใส่ไปในเซ็ต $F$ นั่นคือ จุด $v$ จะถูกใส่ใน $F$ ก็ต่อเมื่อจุดนั้นถูกพบในวิถีแต่งเติมที่สั้นที่สุดซึ่งได้มาจากการค้นหาตามแนวกว้าง
• ทำการหาจำนวนวิถีแต่งเติมความยาว $k$ ที่มากที่สุดที่ไม่ติดกัน โดยการค้นหาตามแนวลึกจาก $F$ ไปยังจุดอิสระใน $U$ โดยการใช้ชั้นจากการค้นหาตามแนวกว้างเพื่อเป็นแนวทางการค้นหา การค้นหาตามแนวลึกจะค้นไปยังจุดที่ยังไม่เคยพบในชั้นก่อนหน้า และในต้นไม้ของค้นหาตามแนวลึก จุดเชื่อมต่อใดๆในวิถีที่ได้จะเชื่อมต่อระหว่างเส้นเชื่อมที่ถูกจับคู่แล้วและเส้นเชื่อมที่ยังไม่ได้จับคู่เท่านั้น เมื่อพบวิถีแต่งเติมที่เริ่มจากจุดใน $F$ แล้ว จะทำการค้นหาตามแนวลึกใหม่ โดยทำจากจุดเริ่มต้นถัดไปใน $F$
• ทุกๆวิถีที่ได้มาจะถูกนำไปเพิ่มขนาดของ $M$

ขั้นตอนวิธีนี้จะสิ้นสุดเมื่อไม่พบวิถีแต่งเติมจากการค้นหาตามแนวกว้างในวัฏภาคใดๆ

วิเคราะห์การทำงาน

แต่ละวัฏภาคประกอบด้วยการค้นหาตามแนวกว้างหนึ่งครั้งและการค้นหาตามแนวลึกหนึ่งครั้ง ดังนั้นในวัฏภาคหนึ่งๆจะใช้เวลาเชิงเส้น เพราะฉะนั้น สำหรับ $\sqrt n$ วัฏภาคแรก ในกราฟที่มี $n$ จุด และ$m$ เส้นเชื่อม จะใช้เวลาทั้งหมด $O(m \sqrt n)$

โดยแสดงได้ว่า ในทุกๆวัฏภาค ความยาวของวิถีแต่งเติมที่สั้นที่สุดจะมีการเพิ่มความยาวขึ้นเสมอ นั่นคือ ในแต่ละวัฏภาค วิถีแต่งเติมอื่นๆที่เหลืออยู่ต้องมีความยาวมากกว่าความยาวปัจจุบันเสมอ เพราะฉะนั้นเมื่อ $\sqrt n$ วัฏภาคแรกในขั้นตอนวิธีสิ้นสุดลง วิถีแต่งเติมที่สั้นที่สุดจะมีเส้นเชื่อมอย่างน้อย $\sqrt n$ เส้นเชื่อม อย่างไรก็ตามผลต่างสมมาตรระหว่างการจับคู่ที่ดีที่สุดและการจับคู่ $M$ ที่ได้มาจากแต่ละวัฏภาค จะก่อให้เกิดวิถีแต่งเติมหลายๆวิถีที่ไม่ต่อเนื่องกัน นั่นคือ ถ้าแต่ละวิถีในเซ็ตมีความยาวอย่างน้อยเท่ากับ $\sqrt n$ แล้ว จะมีวิถีได้อย่างมากที่สุดจำนวน $\sqrt n$ วิถี และขนาดของการจับคู่ที่ดีที่สุดจะมีความแตกต่างจากขนาดของ $M$ ได้อย่างมากเท่ากับ $\sqrt n$ เส้นเชื่อม และเนื่องจากว่าทุกวัฏภาคของขั้นตอนวิธีนี้จะมีการเพิ่มขนาดของการจับคู่เสมอ ดังนั้นก่อนที่ขั้นตอนวิธีจะสิ้นสุด จะมีวัฏภาคเพิ่มได้อย่างมากที่สุดอีกจำนวน $\sqrt n$ วัฏภาค

จะได้ว่า ขั้นตอนวิธีนี้มีการทำงานอย่างมากที่สุด $2\sqrt n$ วัฏภาค ดังนั้น จะได้เวลาทั้งหมดในการทำงานคือ $O(m\sqrt n)$ สำหรับกรณีแย่สุด

อย่างไรก็ตาม ในหลายๆกรณี เวลาที่ใช้โดยขั้นตอนวิธีนี้อาจจะเร็วกว่าในการวิเคราะห์กรณีแย่สุด เช่น ในกรณีเฉลี่ยสำหรับกราฟกระจายสองส่วนแบบกราฟสุ่ม Bast et al. (2006) ได้แสดงว่า ในการจับคู่ที่ไม่ใช่การจับคู่ที่ดีที่สุด วิถีแต่งเติมที่ได้มีโอกาสสูงที่จะมีความยาวเป็นลอการิทึม (พัตนาจากผลของ Motwani (1994)) ดังนั้น สำหรับกราฟเหล่านี้ ขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ จะมี $O(\log(n))$ วัฏภาคและจะมีเวลาในการทำงานเท่ากับ $O(m\log(n))$

เปรียบเทียบกับขั้นตอนวิธีจับคู่กราฟสองส่วนอื่นๆ

สำหรับกราฟกระจายขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ เป็นขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพดีที่สุดในกรณีแย่สุด แต่สำหรับกราฟซับซ้อนขั้นตอนวิธีโดย Alt et al. (1991) สามารถทำงานได้ดีกว่าเล็กน้อย คือ $O(n^{1.5}(\frac{m}{\log(n)})^{0.5})$ โดยเป็นขั้นตอนวิธีที่มีพื้นฐานจากขั้นตอนวิธีการไหลมากสุดดัน-ติดป้ายซ้ำซึ่งหลังจากการจับคู่โดยขั้นตอนวิธีนี้แล้วจะสลับมาใช้วิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ

มีผู้ทดลองเปรียบเทียบขั้นตอนวิธีจับคู่กราฟสองส่วน ผลลัพธ์ที่ได้ปรากฏว่าขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พไม่ดีเหมือนกับในทฤษฎี เมื่อเทียบกับแผนการทางกว้างและแผนการทางลึกเพื่อหาวิถีแต่งเติม และเทคนิกดัน-ติดป้ายซ้ำ

กราฟที่ไม่ใช่กราฟสองส่วน

การหาจำนวนสมาชิกจับคู่มากสุดในกราฟที่ไม่ใช่กราฟสองส่วน สามารถใช้แนวคิดเดียวกับการหาจำนวนมากสุดของวิถีแต่งเติมที่สั้นที่สุดได้ ดังนั้นจะได้ขั้นตอนวิธีที่มี $O(\sqrt n)$ วัฏภาค อย่างไรก็ตาม สำหรับกราฟที่ไม่ใช่กราฟสองส่วน การหาวิถีแต่งเติมในแต่ละวัฏภาคทำได้ยากและช้ากว่า Micali & Vazirani (1980) ได้แสดงถึงขั้นตอนวิธีในแต่ละวัฏภาคโดยใช้เวลาเชิงเส้นในกราฟที่ไม่ใช่กราฟสองส่วน ซึ่งใช้เวลาเท่ากับขั้นตอนวิธีฮอปครอฟท์-คาร์พ แต่เทคนิกที่ไมคาไล-วาซิรานีใช้นั้นมีความซับซ้อนและยังไม่ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์ นอกจากนี้ยังมีขั้นตอนวิธีที่อื่นๆอีก

รหัสเทียม

 1 /*
 2   G = G1 ∪ G2 ∪ {จุดว่าง}
 3   G1 และ G2 คือส่วนย่อยในกราฟสองส่วน และ จุดว่าง เป็นจุดพิเศษ
 4 */
 5
 6 ฟังก์ชัน ค้นหาตามแนวกว้าง()
 7     สำหรับทุกๆจุด v ใน G1
 8         ถ้า คู่ของ v เท่ากับ จุดว่าง
 9             กำหนด ระยะทางของ v เป็น 0
10             เพิ่ม v ลงในแถวคอย
11         ไม่เช่นนั้น
12             กำหนด ระยะทางของ v เป็น ∞
13     กำหนด ระยะทางของ จุดว่าง เป็น ∞
14     ในขณะที่ แถวคอยไม่ว่าง
15         กำหนด v เป็น จุดหน้าสุดของแถวคอย และนำจุดหน้าสุดของแถวคอยออกไป
16         สำหรับทุกๆจุด u ที่มีเส้นเชื่อมกับ v
17             ถ้า ระยะทางของคู่ของ u เท่ากับ ∞
18                 กำหนด ระยะทางของคู่ของ u เป็น ระยะทางของ v + 1
29                 เพิ่ม คู่ของ u ลงในแถวคอย
20     คืนค่า ระยะทางของจุดว่างเท่ากับ ∞ ใช่หรือไม่
21
22 ฟังก์ชัน ค้นหาตามแนวลึก (v)
23     ถ้า v ไม่เท่ากับ จุดว่าง
24         สำหรับทุกๆจุด u ที่มีเส้นเชื่อมกับ v
25             ถ้า ระยะทางของคู่ของ u เท่ากับ ระยะทางของ v + 1
26                 ถ้า ค้นหาตามแนวลึก(คู่ของ u) เป็นจริง
27                     กำหนด คู่ของ u เป็น v
28                     กำหนด คู่ของ v เป็น u
39                     คืนค่า จริง
30         กำหนด ระยะทางของ v เป็น ∞
31         คืนค่า เท็จ
32     คืนค่า จริง
33
34 ฟังก์ชัน ฮอปครอฟท์-คาร์พ
35     สำหรับทุกๆจุด v ใน G
36         กำหนด คู่ของ v เป็น จุดว่าง
37     กำหนด จำนวนการจับคู่ เป็น 0
38     ในขณะที่ ค้นหาตามแนวกว้าง() เป็นจริง
49         สำหรับทุกๆจุด v ใน G1
40             ถ้า คู่ของ v เท่ากับ จุดว่าง
41                 ถ้า ค้นหาตามแนวลึก(v) เป็นจริง
42                     กำหนด จำนวนการจับคู่ เป็น จำนวนการจับคู่ + 1
44     คืนค่า จำนวนการจับคู่

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีกราฟ
• อภิธานศัพท์ทฤษฎีกราฟ
• กราฟสองส่วน
• การจับคู่
• วิถีแต่งเติม
• ปัญหาการไหลมากสุด
• การค้นหาตามแนวกว้าง
• การค้นหาตามแนวลึก
• ผลต่างสมมาตร
• ขั้นตอนวิธีฮังกาเรียน
• ขั้นตอนวิธีของดีนิซ
• กราฟกระจาย
• กราฟสุ่ม