ขั้นตอนวิธีของควิน-แม็กคลัสกีย์

ขั้นตอนวิธีของควิน-แม็กคลัสกีย์ (อังกฤษ: Quine-McCluskey algorithm) เป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีที่ใช้สำหรับการลดรูปนิพจน์ตรรกศาสตร์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่มีประสิทธิภาพสูง พัฒนาโดย ดับเบิลยู.วี. ควิน (W.V.Quine) และเอ็ดเวิด เจ. แมกคลัสกีย์ (Edward J. McCluskey)

วิธีการทำงาน

วิธีการนี้มีขั้นตอนการทำงานเหมือนกับการทำแผนผังคาร์โนห์ (Karnaugh map หรือ K-map) แต่มีความยืดหยุ่นมากกว่า ในด้านการนำไปประยุกต์เพื่อสร้างโปรแกรมคอมพิวเตอร์อย่างมีประสิทธิภาพ และด้านการใช้งานกับนิพจน์ตรรกศาสตร์ที่มีตัวแปรเป็นจำนวนมาก
ขั้นตอนการทำงาน แบ่งออกเป็นสองขั้นตอน ดังนี้:

1. รวมเทอมเข้าด้วยกันเพื่อลดจำนวนเทอม
2. สร้างตารางเพื่อหานิพจน์ตรรกศาสตร์ในรูปอย่างง่าย

รหัสเทียม

ตัวอย่างรหัสเทียม

ตัวอย่างรหัสเทียมสำหรับการทำงานของขั้นตอนวิธีควิน-แมกคลัสกีย์

Function QM1( levels ) returns primes
put { } (empty set) into primes
for each level level do
        irredundant level (remove duplicates from level)
        put { } (empty set) into nonprimes        for every term term in level from 1 to the size of level –1 do
                for every term compterm in level from term + 1 to the size of level do
                        put –1 into differentLiteral as a flag
                        for every literal literal from 1 to NUMINPUTS do
                                if literal literal of term  ?  literal literal of compterm then
                                        if differentLiteral = –1 then
                                                (there was no previous difference)
                                                put literal into differentLiteral
                                        else (there was a previous difference)
                                                put –1 into differentLiteral as a flag
                                                break (get out of this comparison loop)
                                        end if
                                end if
                        end for of literal
                        if differentLiteral  ?  –1 then (there was exactly one difference)
                                add term to nonprimes
                                add compterm to nonprimes
                                add term with 2 in literal differentLiteral to level level + 1
                end for of compterm
        end for of term
        if the size of nonprimes > 0 then
                add all terms not in nonprimes to primes
        else
                break (get out of loop for levels)
        end if
end for of level
return primes

ข้อจำกัด

ถึงแม้วิธีการนี้จะได้ผลดีกว่ากว่าแผนผังคาร์โนห์เมื่อใช้ลดนิพจน์ตรรกศาสตร์ที่มีตัวแปรมากกว่าสี่ตัวก็ตาม แต่เวลาที่ใช้ในการทำงานจะเพิ่มมากขึ้นอย่างรวดเร็วตามจำนวนของตัวแปร (เพิ่มขึ้นในอัตราส่วนแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง) โดยสามารถแสดงในรูปแบบของฟังก์ชันขอบเขตสูงสุดของตัวแปร $n$ ตัว ได้เป็น $\frac{3^{n}}{n}$ ซึ่งหากนิพจน์ตรรกศาสตร์มีจำนวนตัวแปรเท่ากับ 32 ตัว หรือ $n=32$ อาจจะมีเทอมที่ไม่สามารถจับคู่ได้มากกว่า $6.5\times1015$ เทอม ดังนั้นหากต้องการลดนิพจน์ตรรกศาสตร์ที่มีจำนวนตัวแปรมากๆ ควรใช้วิธีการอื่นแทน เช่น การใช้โปรแกรมเอสเปรสโซ่ เป็นต้น

ขั้นตอนวิธีนี้ เป็นขั้นตอนวิธีปัญหา เอ็นพี-แบบยาก เพราะมีอัตราการทำงานเติบโตในรูปของฟังก์ชันเอกซ์โพเน็นเชียล

ปัญหาที่เกี่ยวข้อง

• วิธีการของแพททริก

ตัวอย่างขั้นตอนการทำงาน

ลดรูปนิพจน์ตรรกศาสตร์ต่อไปนี้:

$f(A,B,C,D) =\sum m(4,5,6,8,9,10,13) + d(0,7,15) \,$

รวมเทอมเข้าด้วยกันเพื่อลดจำนวนเทอม

เนื่องจากนิพจน์ตรรกศาสตร์ดังกล่าว มีตัวแปรจำนวน 4 ตัว ได้แก่ A, B, C และ D ดังนั้นจึงสามารถสร้างตารางค่าความจริงได้ทั้งหมด 16 กรณี ดังนี้

	A	B	C	D	-	f
m0	0	0	0	0	-	x
m1	0	0	0	1	-	0
m2	0	0	1	0	-	0
m3	0	0	1	1	-	0
m4	0	1	0	0	-	1
m5	0	1	0	1	-	1
m6	0	1	1	0	-	1
m7	0	1	1	1	-	x
m8	1	0	0	0	-	1
m9	1	0	0	1	-	1
m10	1	0	1	0	-	1
m11	1	0	1	1	-	0
m12	1	1	0	0	-	0
m13	1	1	0	1	-	1
m14	1	1	1	0	-	0
m15	1	1	1	1	-	x

ในการรวมเทอมเข้าด้วยกันเพื่อลดจำนวนเทอมนั้น จะพิจารณาจากเทอมที่มีค่าของ A,B,C และ D ต่างกันเพียง 1 บิต ตัวอย่างเช่น 0000 กับ 0100 (ต่างกันที่บิตที่สอง) หรือ 0000 กับ 1000 (ต่างกันที่บิตที่หนึ่ง) เป็นต้น ดังนั้นเพื่อให้ง่ายต่อการพิจารณา จะทำการแบ่งกลุ่มที่มีค่าของ A,B,C และ D ต่างกันเพียง 1 บิตโดยแบ่งตามจำนวนของเลข 1 ในค่า A,B,C และ D ดังนี้

จำนวนเลข 1 ใน A,B,C,D	m	ค่าของ A,B,C,D
0	m0	0000
1	m4	0100
	m8	1000
2	m5	0101
	m6	0110
	m9	1001
	m10	1010
3	m7	0111
	m13	1101
4	m15	1111

จากตารางด้านบน จะเห็นว่าเราสามารถแบ่งกลุ่มที่มีค่าของ A,B,C,D ต่างกันเพียง 1 บิทได้เป็น 5 กลุ่ม ดังนั้นในการรวมเทอมที่มีรูปแบบคล้ายกัน เราจะพิจารณาแต่ละกลุ่มเทียบกันโดยใช้วิธีการเขียนตาราง ดังนี้

1. เขียนค่าของ ABCD ที่ต้องการพิจารณาลงในคอลัมน์เริ่มต้นของตาราง (คอลัมน์ที่ 1)
2. เปรียบเทียบค่า ABCD ที่ต่างกันเพียง 1 บิต (ค่าของกลุ่มติดกันที่แบ่งไว้ข้างต้น) เพื่อยุบรวมเป็นตัวเดียว โดยแทนตัวที่ต่างกันด้วย "-" และแทนตัวที่เหมือนกันด้วยตัวเลขนั้นๆ เขียนผลลัพธ์ลงในคอลัมน์ถัดไป (คอลัมน์ที่ 2) ตัวอย่างเช่น เปรียบเทียบ 0000 กับ 0100 แล้วรวมเป็น 0-00, เปรียบเทียบ 0000 กับ 1000 แล้วรวมเป็น -000 เป็นต้น
3. เมื่อยุบรวมพจน์เรียบร้อยแล้ว ให้ทำการเขียนเครื่องหมายถูก "/" หากยุบไม่ได้ก็ใส่เครื่องหมายดอกจัน "*" ไว้ด้านหลังพจน์ที่ถูกยุบรวมแล้ว
4. ทำการเปรียบเทียบค่า ABCD ไปเรื่อยๆ เพื่อยุบรวมพจน์จนกระทั่งไม่สามารถยุบรวมได้อีก

คอลัมน์ที่ 1	คอลัมน์ที่ 2	คอลัมน์ที่ 3
0000 /	0-00 *	01-- *
-	-000 *
0100 /		-1-1 *
1000 /	010- /
-	01-0 /
0101 /	100- *
0110 /	10-0 *
1001 /
1010 /	01-1 /
-	-101 /
0111 /	011- /
1101 /	1-01 *
-
1111 /	-111 /
	11-1 /

จากตารางด้านบน แสดงให้เห็นว่าพจน์ที่ไม่สามารถยุบรวมได้อีก มีทั้งหมด 7 พจน์ ได้แก่ 0-00, -000, 100-, 10-0, 1-01, 01-- และ -1-1

สร้างตารางเพื่อหานิพจน์ตรรกศาสตร์ในรูปอย่างง่าย

การสร้างตาราง

การสร้างตารางในเบื้องต้น มีขั้นตอนดังนี้

• สำหรับแต่ละแถว คือ พจน์ที่ไม่สามารถยุบรวมได้อีก ที่ได้หามาแล้วในขั้นตอนที่ 1
• สำหรับแต่ละคอลัมน์ คือ พจน์ที่มีค่าฟังก์ชันเป็น 1
• ทำเครื่องหมายกากบาท "X" ในตารางตามช่องที่มีตัวเลขในแถวและคอลัมน์เหมือนกัน

ขั้นตอนที่ 1

	4	5	6	8	9	10	13
0,4(0-00)	X
0,8(-000)				X
8,9(100-)				X	X
8,10(10-0)				X		X
9,13(1-01)					X		X
4,5,6,7(01--)	X	X	X
5,7,13,15(-1-1)		X					X

การหารูปอย่างง่ายของนิพจน์ตรรกศาสตร์

หลังจากสร้างตารางเสร็จเรียบร้อยแล้ว หลักการในการหารูปอย่างง่ายของนิพจน์ตรรกศาสตร์ คือการเลือกแถวให้น้อยที่สุด โดยเลือกให้ครอบคลุมทุกคอลัมน์

• ในการเลือกแถวเบื้องต้นนั้น จะทำการตรวจสอบคอลัมน์ที่มีเครื่องหมาย "X" เพียงแถวเดียว แล้วทำการเลือกแถวนั้นๆ เนื่องจากเป็นแถวที่จำเป็นต้องเลือก หากไม่เลือกจะทำให้ไม่ครอบคลุมครบทุกคอลัมน์
• ทำเครื่องหมายทั้งในแนวแถวและคอลัมน์ที่เลือก

ขั้นตอนที่ 2

	4	5	6	8	9	10	13
0,4(0-00)	X
0,8(-000)				X
8,9(100-)				X	X
8,10(10-0)				X		X
9,13(1-01)					X		X
4,5,6,7(01--)	X	X	X
5,7,13,15(-1-1)		X					X

• จากนั้นให้ทำเครื่องหมายให้กับ "X" ที่อยู่ในคอลัมน์เดียวกันทั้งหมด เพื่อแสดงว่าคอลัมน์นั้นๆ ได้ถูกครอบคลุมโดยแถวที่เลือกไปแล้ว

ขั้นตอนที่ 3

	4	5	6	8	9	10	13
0,4(0-00)	X
0,8(-000)				X
8,9(100-)				X	X
8,10(10-0)				X		X
9,13(1-01)					X		X
4,5,6,7(01--)	X	X	X
5,7,13,15(-1-1)		X					X

• เลือกแถวที่ครอบคลุม "X" ในคอลัมน์ที่เหลืออยู่ แล้วทำเครื่องหมายสำหรับแถวนั้น (หากมีหลายแถวจะต้องเลือกแถวที่ครอบคลุมคอลัมน์ได้มากที่สุด)
• ผลที่ได้จะมีจำนวนแถวที่เลือกน้อยที่สุด และครอบคลุมส่วนที่เหลือทั้งหมดได้

ขั้นตอนที่ 4

	4	5	6	8	9	10	13
0,4(0-00)	X
0,8(-000)				X
8,9(100-)				X	X
8,10(10-0)				X		X
9,13(1-01)					X		X
4,5,6,7(01--)	X	X	X
5,7,13,15(-1-1)		X					X

ดังนั้น นิพจน์ตรรกศาสตร์ในรูปอย่างง่าย คือ :$f_{A,B,C,D} = AB'D' + AC'D + A'B$

ดูเพิ่ม

• นิพจน์
• ตรรกศาสตร์
• แผนผังคาร์โนห์
• พีชคณิตแบบบูล
• POS และ SOP
• วงจรเชิงผสม
• ตารางค่าความจริง

อ้างอิง

• 85-89.http://www.freebookzone.com/fetch.php?bkcls=hw_logic&bkidx=7 Contemporary Logic Design

เชื่อมต่อภายนอก

• การลดทอนฟังก์ชัน
• การลดรูปสมการบูลลีน
• Quine-McCluskey Algorithm
• Minimization
• ตัวอย่างขั้นตอนวิธีของควินและแมกคลัสกีย์
• รหัสเทียมของขั้นตอนวิธีควินและแมกคลัสกีย์
• เกี่ยวกับควิน-แม็กคลัสกีย์
• โปรแกรมลดรูปแบบควิน-แม็กคลัสกีย์แบบออนไลน์
• ตัวอย่างโปรแกรมภาษาซี
• ตัวอย่างโปรแกรมออนไลน์

ความรู้สึกต่อขั้นตอนวิธี

เป็นขั้นตอนวิธีที่ช่วยในการลดรูปนิพจน์ตรรกะได้เมื่อข้อมูลขาเข้าที่มีปริมาณตัวแปรจำนวนมาก แต่ในการทำงานยังมีข้อจำกัดในเรื่องของเวลาอยู่ จึงควรดูขนาดของข้อมูลขาเข้า ว่ามีขนาดเท่าไหร่ และสมควรที่จะใช้วิธีการนี้หรือไม่ หากไม่สมควรควรจะเลือกใช้วิธีการอื่นที่สามารถลดนิพจน์ตรรกะได้ เช่น วิธีการเอกเพรซโซ่ ซึ่งเป็นวิธีการที่จะใช้ผ่านโปรแกรม