ขอบเขตเชอร์นอฟ

ขอบเขตเชอร์นอฟ (อังกฤษ: Chernoff bound) ตั้งตามชื่อของ เฮอร์มาน เชอร์นอฟ (Herman Chernoff) ในทฤษฎีความน่าจะเป็น จะเป็นกลุ่มของข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของส่วนปลายของการกระจายความน่าจะเป็น ชื่อของอสมการนั้นตั้งเพื่อเป็นเกียรติแก่ เฮอร์แมน เชอร์นอฟ นักคณิตศาสตร์ สถิติ และฟิสิกส์ ชาวอเมริกัน ขอบเขตเชอร์นอฟใช้ข้อมูลจากโมเมนต์ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นโดยทั่วไปแล้วจึงให้ขอบเขตที่กระชับกว่าอสมการของมาร์คอฟ (ในรูปพื้นฐาน) และอสมการของเชบิเชฟมาก

รูปทั่วไป

ให้ $X$ เป็นตัวแปรสุ่มใดๆ แล้ว

$\Pr[X \geq a] \ \leq \ \inf_{t > 0} e^{-ta} \mathcal{M}_X(t)$

โดยที่

$\mathcal{M}_X(t)= \mathrm{E}[e^{tX}] \quad$ คือ ฟังก์ชันกำเนิดโมเมนต์ (moment generating function)

การพิสูจน์

สำหรับค่าคงที่บวก $t \,$ ใดๆ $e^{tx} \,$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มที่มีค่าบวกเสมอ ดังนั้น $X \geq a$ ก็ต่อเมื่อ $e^{tX} \geq e^{ta}$

เมื่อมอง $e^{tX} \,$ เป็นตัวแปรสุ่มและใช้อสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า

$\Pr[X \geq a] = \Pr[e^{tX} \geq e^{ta}] \leq \frac{\mathrm{E}[e^{tX}]}{e^{ta}} = e^{-ta}\mathcal{M}_X(t)$

เนื่องจากข้อความข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุกๆ จำนวนจริงบวก $t \,$ มันจึงเป็นจริงสำหรับ $t \,$ ที่ทำให้ $e^{-ta}\mathcal{M}_X(t)\,$ มีค่าต่ำสุดด้วย เพราะฉะนั้น

$\Pr[X \geq a] \leq \inf_{t > 0} e^{-ta}\mathcal{M}_X(t)$

ตามต้องการ

ขอบเขตเชอร์นอฟของการทดลองแบบปัวซอง

ในส่วนนี้จะกล่าวถึงการหาขอบเขตเชอร์นอฟในกรณีที่ที่ตัวแปรสุ่มอันเป็นผลบวกของการทดลองแบบปัวซองซึ่งเป็นอิสระแก่กัน กรณีพิเศษของขอบเขตเชอร์นอฟแบบนี้ถูกใช้อย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม โดยเฉพาะในการพิสูจน์ว่าขั้นตอนวิธีแบบสุ่มหนึ่งๆ จะทำงานได้ดีด้วยความน่าจะเป็นสูง สาเหตุที่ขอบเขตเชอร์นอฟเป็นเทคนิคที่เหมาะสมต่อการวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มนั้น อาจเพราะว่า โดยทั่วไปเราสามารถมองขั้นตอนวิธีแบบสุ่มว่า เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้การโยนเหรียญที่เป็นอิสระต่อกันหลาย ๆ ครั้งในการตัดสินใจ

ขอบเขตของเชอร์นอฟในกรณีนี้นั้นไม่สมมาตร ดังนั้นในการใช้งานจะมีขอบเขตทั้งของ ส่วนปลายด้านบน ซึ่งจะใช้สำหรับกรณีที่ต้องการหาขอบเขตบนในกรณีที่ตัวแปรสุ่มมีค่ามากกว่าค่าคาดหมาย และ ส่วนปลายด้านล่าง ในกรณีที่พิจารณาเหตุการณ์ที่ตัวแปรสุ่มมีค่าน้อยกว่าค่าคาดหมาย

ใจความ

ให้ $n \,$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $X_i \,$ สำหรับจำนวน $1 \leq i \leq n$ เป็นการทดลองแบบปัวซองที่เป็นอิสระแก่กันโดยที่ $\Pr[X_i = 1] = p_i$ และ $0 < p_i < 1 \,$ กำหนด $X = \sum_{i=1}^n X_i$ และให้ $\mu = \mathrm{E}[X]\,$ และ $\delta \,$ เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่มีค่ามากกว่า 0 แล้ว:

1. (ส่วนปลายด้านบน)

$\Pr[X > (1+\delta)\mu] < \left( \frac{e^\delta}{(1+\delta)^{1+\delta}} \right)^\mu$

2. (ส่วนปลายด้านล่าง) เมื่อ $0 < \delta \leq 1$

$\Pr[X > (1-\delta)\mu] < \left( \frac{e^\delta}{(1-\delta)^{1-\delta}} \right)^\mu$

การพิสูจน์

เราเริ่มจากการพิสูจน์ส่วนปลายด้านบน จากรูปทั่วไป

$\Pr[X > (1+\delta)\mu] < \inf_{t > 0} e^{-t(1+\delta)\mu}\mathcal{M}_X(t)$

พิจารณา $\mathcal{M}_X(t) = \mathrm{E}[e^{tX}] \,$ เราได้ว่า $e^{tX} = e^{tX_1 + \cdots + tX_n} = \prod_{i=1}^n e^{tX_i}$ เนื่องจากตัวแปรสุ่ม $X_1 \,$, $X_2 \,$, $\ldots$, $X_n \,$ เป็นอิสระแก่กัน เราได้ว่า

$\mathcal{M}_X(t) = \mathrm{E}[\prod_{i=1}^n e^{tX_i}] = \prod_{i=1}^n \mathrm{E}[e^{tX_i}] = \prod_{i=1}^n (p_ie^t + (1-p_i)) = \prod_{i=1}^n (1 + p_i(e^t - 1))$

เพราะว่า $1+x < e^x \,$ สำหรับจำนวนจริงบวก $x \,$ ทุกจำนวน เราได้ว่า

$\mathcal{M}_X(t) = \prod_{i=1}^n (1 + p_i(e^t - 1)) < \prod_{i=1}^n e^ {p_i(e^t - 1)} = e^{(e^t - 1)(p_1 + \cdots + p_n)} = e^{(e^t - 1)\mu}$

เนื่องจาก $p_1 + \cdots + p_n = \mathrm{E}[X_1] + \cdots + \mathrm{E}[X_n] = \mathrm{E}[X_1 + \cdots + X_n] = \mathrm{E}[X] = \mu$ ดังนั้น

$e^{-t(1+\delta)\mu}\mathcal{M}_X(t) < \frac{e^{(e^t-1)\mu}}{e^{t(1+\delta)\mu}} = \left( \frac{e^{e^t-1}}{e^{t(1+\delta)}}\right)^\mu = (e^{e^t - t\delta - t - 1})^\mu$

กำหนดฟังก์ชัน $f(t) = e^{e^t - t\delta - t - 1}\,$ เราได้ว่า $f'(t) =(e^t - \delta - 1)f(t)\,$ และ $f''(t) = ((e^t - \delta - 1)^2 + e^t)f(t)\,$

สมมติให้ $f'(t) = 0\,$ เราได้ว่า $t = \ln(1+\delta)\,$ และ $f''(t) = ((1+\delta)^2 + 1 + \delta)f(\ln(1+\delta)) > 0\,$ เพราะฉะนั้น $f(t) \,$ จึงมีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ $t = \ln(1+\delta) \,$ เราจึงได้ว่า

$\Pr[X > (1+\delta)\mu] < \inf_{t > 0} e^{-t(1+\delta)\mu}\mathcal{M}_X(t) < \inf_{t > 0} f(t)^\mu = f(\ln(1+\delta))^\mu = \left( \frac{e^\delta}{(1+\delta)^{1+\delta}} \right)^\mu$

ตามต้องการ

สำหรับส่วนปลายด้านล่างนั้น เราเริ่มจากสังเกตว่า $X < (1-\delta)\mu \,$ ก็ต่อเมื่อ $-X > -(1-\delta)\mu \,$ เมื่อใช้รูปทั่วไปของขอบเขตเชอร์นอฟ ได้ว่า

$\Pr[X < (1-\delta)\mu] < \inf_{t > 0} e^{(1-\delta)\mu}\mathrm{E}[e^{-tX}]$

เมื่อใช้การให้เหตุผลแบบเดียวกับการพิสูจน์ส่วนปลายด้านบน เราได้ว่า

$\Pr[X < (1-\delta)\mu] < \inf_{t > 0} \left( \frac{e^{e^{-t}-1}}{e^{-t(1-\delta)}} \right)^\mu$

ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันทางด้านขวามือของอสมการอยู่ที่ $t = \ln(1/(1-\delta)) \,$ ฉะนั้น

$\Pr[X < (1-\delta)\mu] < \left( \frac{e^\delta}{(1-\delta)^{1-\delta}} \right)^\mu$

ตามต้องการ

รูปแบบอื่น ๆ

รูปแบบทั้งสองข้างต้นเป็นรูปแบบที่ให้ขอบเขตที่แน่นที่สุดของขอบเขตเชอร์นอฟ อย่างไรก็ตาม รูปแบบทั้งสามแบบด้านล่างที่อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม มักนำไปใช้ได้สะดวกกว่า

1. (ส่วนปลายด้านบน) ถ้า $0 < t < 2e-1 \,$

$\Pr[X > (1+\delta)\mu] < e^{-\mu\delta^2/4}$

และ สำหรับ $\delta > 2e-1\,$

$\Pr[X > (1+\delta)\mu] < 2^{-(1+\delta)\mu}$

2. (ส่วนปลายด้านล่าง) ถ้า $0<\delta\leq 1$

$\Pr[X < (1-\delta)\mu] < e^{-\mu\delta^2/2}$