อสมการของเชบิเชฟ

บทความนี้เกี่ยวกับอสมการในทฤษฎีความน่าจะเป็น สำหรับอสมการเกี่ยวกับผลบวกของลำดับ ดูที่ อสมการผลบวกของเชบิเชฟ

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของเชบิเชฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มตัวหนึ่งจะเบี่ยงเบนไปจากค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มนั้น อสมการของเชบิเชฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นนี้กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มนั้น โดยมีใจความดังนี้

ให้ $X \,$ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าคาดหมาย $\mu_X \,$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma_X \,$ แล้ว สำหรับจำนวนจริง $t \,$ ใดๆ เราได้ว่า $\Pr[|X-\mu_X| \geq t\sigma_X] \leq \frac{1}{t^2}$

โดยทั่วไปแล้วอสมการของเชบิเชฟจะให้ขอบเขตบนที่แน่นกว่าอสมการของมาร์คอฟ เนื่องจากอสมการของเชบิเชฟใช้ความรู้เกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม อสมการของเชบิเชฟถูกใช้ในการวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มหลายๆ ขั้นตอนวิธี เนื่องจากตัวแปรสุ่มในขั้นตอนวิธีนั้นมักเป็นตัวแปรสุ่มที่พบได้บ่อยและสามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ไม่ยาก

การพิสูจน์

เนื่องจาก $|X-\mu_X| \geq t\sigma_X$ ก็ต่อเมื่อ $(X-\mu_X) ^2 \geq t^2\sigma_X^2$ เมื่อมอง $(X-\mu_X) ^2 \,$ เป็นตัวแปรสุ่มและใช้อสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า

$\Pr[(X-\mu_X) ^2 \geq t^2\sigma_X^2] \leq \frac{\mathrm{E}[(X-\mu_X) ^2]}{t^2\sigma_X^2}$

ค่า $\sigma_X^2$ คือความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X \,$ ซึ่งโดยนิยามแล้วมีค่าเท่ากับค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม $(X-\mu_X) ^2 \,$ ด้วยเหตุนี้

$\Pr[|X-\mu_X| \geq t\sigma_X] = \Pr[(X-\mu_X) ^2 \geq t^2\sigma_X^2] \leq \frac{\mathrm{E}[(X-\mu_X) ^2]}{t^2\mathrm{E}[(X-\mu_X) ^2]} = \frac{1}{t^2}$

ตามต้องการ