อสมการของเชบิเชฟ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของเชบิเชฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มตัวหนึ่งจะเบี่ยงเบนไปจากค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มนั้น อสมการของเชบิเชฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นนี้กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มนั้น โดยมีใจความดังนี้

ให้ X \, เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าคาดหมาย \mu_X \, และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน \sigma_X \, แล้ว สำหรับจำนวนจริง t \, ใดๆ เราได้ว่า \Pr[|X-\mu_X| \geq t\sigma_X] \leq \frac{1}{t^2}

โดยทั่วไปแล้วอสมการของเชบิเชฟจะให้ขอบเขตบนที่แน่นกว่าอสมการของมาร์คอฟ เนื่องจากอสมการของเชบิเชฟใช้ความรู้เกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม อสมการของเชบิเชฟถูกใช้ในการวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มหลายๆ ขั้นตอนวิธี เนื่องจากตัวแปรสุ่มในขั้นตอนวิธีนั้นมักเป็นตัวแปรสุ่มที่พบได้บ่อยและสามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ไม่ยาก

การพิสูจน์[แก้]

เนื่องจาก |X-\mu_X| \geq t\sigma_X ก็ต่อเมื่อ  (X-\mu_X) ^2 \geq t^2\sigma_X^2 เมื่อมอง  (X-\mu_X) ^2 \, เป็นตัวแปรสุ่มและใช้อสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า

\Pr[(X-\mu_X) ^2 \geq t^2\sigma_X^2] \leq \frac{\mathrm{E}[(X-\mu_X) ^2]}{t^2\sigma_X^2}

ค่า \sigma_X^2 คือความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X \, ซึ่งโดยนิยามแล้วมีค่าเท่ากับค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม  (X-\mu_X) ^2 \, ด้วยเหตุนี้

\Pr[|X-\mu_X| \geq t\sigma_X] = \Pr[(X-\mu_X) ^2 \geq t^2\sigma_X^2] \leq \frac{\mathrm{E}[(X-\mu_X) ^2]}{t^2\mathrm{E}[(X-\mu_X) ^2]} = \frac{1}{t^2}

ตามต้องการ