อสมการของเชบิเชฟ

บทความนี้เกี่ยวกับอสมการในทฤษฎีความน่าจะเป็น สำหรับอสมการเกี่ยวกับผลบวกของลำดับ ดูที่ อสมการผลบวกของเชบิเชฟ

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น อสมการของเชบิเชฟ เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ค่าของตัวแปรสุ่มตัวหนึ่งจะเบี่ยงเบนไปจากค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มนั้น อสมการของเชบิเชฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นนี้กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มนั้น โดยมีใจความดังนี้

ให้ $X\,$ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าคาดหมาย $\mu _{X}\,$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma _{X}\,$ แล้ว สำหรับจำนวนจริง $t\,$ ใด ๆ เราได้ว่า $\Pr[|X-\mu _{X}|\geq t\sigma _{X}]\leq {\frac {1}{t^{2}}}$

โดยทั่วไปแล้วอสมการของเชบิเชฟจะให้ขอบเขตบนที่แน่นกว่าอสมการของมาร์คอฟ เนื่องจากอสมการของเชบิเชฟใช้ความรู้เกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม อสมการของเชบิเชฟถูกใช้ในการวิเคราะห์ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มหลาย ๆ ขั้นตอนวิธี เนื่องจากตัวแปรสุ่มในขั้นตอนวิธีนั้นมักเป็นตัวแปรสุ่มที่พบได้บ่อยและสามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ไม่ยาก

การพิสูจน์

เนื่องจาก $|X-\mu _{X}|\geq t\sigma _{X}$ ก็ต่อเมื่อ $(X-\mu _{X})^{2}\geq t^{2}\sigma _{X}^{2}$ เมื่อมอง $(X-\mu _{X})^{2}\,$ เป็นตัวแปรสุ่มและใช้อสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า

$\Pr[(X-\mu _{X})^{2}\geq t^{2}\sigma _{X}^{2}]\leq {\frac {\mathrm {E} [(X-\mu _{X})^{2}]}{t^{2}\sigma _{X}^{2}}}$

ค่า $\sigma _{X}^{2}$ คือความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X\,$ ซึ่งโดยนิยามแล้วมีค่าเท่ากับค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม $(X-\mu _{X})^{2}\,$ ด้วยเหตุนี้

$\Pr[|X-\mu _{X}|\geq t\sigma _{X}]=\Pr[(X-\mu _{X})^{2}\geq t^{2}\sigma _{X}^{2}]\leq {\frac {\mathrm {E} [(X-\mu _{X})^{2}]}{t^{2}\mathrm {E} [(X-\mu _{X})^{2}]}}={\frac {1}{t^{2}}}$

ตามต้องการ