1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

กราฟแสดงผลบวกจำกัดพจน์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ...

ในทางคณิตศาสตร์ 1 − 2 + 3 − 4 + ... เป็นอนุกรมอนันต์ ซึ่งแต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็มบวกที่อยู่ถัดจากพจน์ก่อนหน้า โดยใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกัน ผลบวกใน m พจน์แรกของอนุกรมนี้สามารถเขียนได้ในรูป

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}$

อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะลำดับของผลบวกจำกัดพจน์ (1, -1, 2, -2, ...) ไม่ลู้เข้าหาจำนวนจำกัดใด ๆ แต่จึงไม่สามารถหาลิมิตได้ แต่มีปฏิทรรศน์จำนวนมาก ที่แสดงว่าอนุกรมนี้มีลิมิต

ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ยอมรับปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}$

การหาผลบวกดังกล่าวเริ่มมีการพัฒนาตั้งแต่ใน พ.ศ. 2433 เออร์เนสโต เซซาโร, เอมิลี โบเรล และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ได้ร่วมกันพัฒนาวิธีในการสร้างผลบวกของอนุกรมลู่ออก

อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... เป็นอนุกรมที่ใกล้เคียงกับอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + ... ออยเลอร์ได้พิจารณาอนุกรมทั้งสองว่าเป็นกรณีเฉพาะของ 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … งานวิจัยของเขาได้ต่อยอดไปสู่การศึกษาเรื่องปัญหาของเบเซล และสมการเชิงฟังก์ชัน ซึ่งนำไปสู่ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์ และฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

การลู่ออกของอนุกรม

การแสดงว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... เป็นอนุกรมลู่ออก สามารถสังเกตได้จากผลบวกจำกัดพจน์ของอนุกรมดังนี้

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

ลำดับดังกล่าวประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทุกตัวยกเว้นศูนย์ จึงสามารถสร้างเซต $\mathbb {Z}$ ของจำนวนเต็มขึ้นมาจากลำดับดังกล่าวได้ และจะเห็นว่าลำดับดังกล่าวไม่ได้ลู่เข้าหาค่าคงที่ใด ๆ ดังนั้น อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... เป็นอนุกรมลู่ออก

แผนภาพแสดงการพิสูจน์ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + ... = 1/4

การหาผลบวกของอนุกรม

ถึงแม้ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... จะเป็นอนุกรมลู่ออก แต่เมื่อให้ s = 1 − 2 + 3 − 4 + … จะสามารถสร้างปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า s = 1/4: ได้ดังนี้

${\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&+(-2+3+3-4)&+(3-4-4+5)&+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}$

วิธีการเฉพาะอื่น ๆ

กราฟแสดงผลบวก (H, 2)

เซซาโรและโฮลเดอร์

ผลบวกเซซาโร (C, 1) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... สามารถหาได้โดยการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลบวกจำกัดพจน์ ได้แก่

1, −1, 2, −2, 3, −3, …

ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, …

ลำดับดังกล่าวเป็นลำดับลู่ออก ดังนั้นจึงไม่สามารถหาผลบวกเซซาโรของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้

อย่างไรก็ตาม ในปี พ.ศ. 2425 อ็อตโต โฮลเดอร์ ได้การหารูปแบบที่ง่ายขึ้นของผลบวกเซซาโรที่เรียกว่า (H, n) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก โดย (H, 1) หมายถึงเซซาโร และค่าที่สูงขึ้นสามารถหาได้โดยการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของลำดับก่อนหน้าไปเรื่อย ๆ เช่น ค่าเฉลี่ยของผลบวกจำกัดพจน์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... พจน์คี่ทุกพจน์เป็นศูนย์ ในขณะที่พจน์คู่มีค่าลู่เข้าสู่ 1/2 ดังนั้นค่าเฉลี่ยจึงลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยของ 0 และ 1/2 คือ 1/4

ผลบวกอาเบล

กราฟแสดงค่าของ 1−2x+3x²+…; 1/(1 + x)² ซึ่งมีลิมิตเป็น 1

จากรายงานใน พ.ศ. 2292 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ยอมรับว่าอนุกรมดังกล่าวเป็นอนุกรมลู่ออก แต่ต้องการที่จะหาผลบวกให้ได้ ดังนี้

สำหรับจำนวนจริง x ที่มีค่าสัมบูรณ์ น้อยกว่า 1 จะได้ว่า

$1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}$

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยขั้นตอนการหารพหุนาม

ถึงแม้ว่าอนุกรม 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … จะไม่นิยามค่าเมื่อ x = 1 จึงทำให้ไม่สามารถหาลิมิตดังกล่าวนี้ได้ แต่ออยเลอร์ได้หาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ดังนี้

$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.$

แผนภาพแสดงผลบวกออยเลอร์

ออยเลอร์และโบเรล

ออยเลอร์ได้ใช้เทคนิคอื่นในการหาผลบวกของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... โดยเริ่มจากจำนวนเต็มบวกในลำดับที่ใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกันคือ 1, 2, 3, 4, ... เรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า a₀ จากนั้นสร้างลำดับของผลต่างของพจน์ถัดกันในลำดับนี้ จะได้ลำดับ 1, 1, 1, 1, ... และเรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า Δa₀ สำหรับลำดับที่เกิดจากการหาผลต่างอขงพจน์ถัดกันของลำดับนี้ไปเรื่อย ๆ จะเป็นศูนย์ทั้งหมด ผลบวกออยเลอร์ของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... นิยามโดย

${\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}}$

ผลบวกออยเลอร์ยังนำไปสู่การหาผลบวกของอนุกรมในวิธีอื่น โดยการเขียนอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... อยู่ในรูป

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)$

ซึ่งมีความสัมพันธ์กับสูตร

$a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x).$

ทำให้ได้ผลบวกที่เรียกว่าผลบวกโบเรล ดังนี้

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}}$

รูปทั่วไป

ผลคูณโคชีชั้นที่สามของ 1 - 1 + 1 - 1 + ... คือ 1 - 3 + 6 - 10 + ... ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนสามเหลี่ยม โดยมีผลบวกอาเบลและผลบวกออยเลอร์เป็น 1/8 ผลคูณโคชีชั้นที่สี่ของ 1 + 1 - 1 + 1 - ... คือ 1 - 4 + 10 - 20 + ... ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนเตตระฮีดรอน โดยมีผลรวมอาเบลเป็น 1/16

รูปแบบทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... คือ 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … สำหรับจำนวนเต็มบวก n ซึ่งมีผลรวมอาเบลเป็น

$1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}$

เมื่อ B_n เป็นจำนวนแบร์นูลลี สำหรับ n ที่เป็นจำนวนคู่ ผลบวกจะสามารถลดรูปได้เป็น

$1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0$

ซึ่งค้นพบโดย นีลส์ เฮนริก อาเบล ในปี พ.ศ. 2469

ในปี พ.ศ. 2426 เซซาโรได้พยายามหาสูตรในการหาลิมิตของรูปทั่วไปแต่ได้พบข้อผิดพลาดในงานของเขา อย่างไรก็ตาม แนวคิดที่ใช้ก็เป็นแนวคิดที่มีประโยชน์ ในที่สุด เมื่อ พ.ศ. 2433 เซซาโรได้หาลิมิตของอนุกรมได้ และได้ตีพิมพ์ลงใน Sur la multiplication des séries

อ้างอิง

• Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2.
• Davis, Harry F. (1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9. {{cite book}}: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |month= ถูกละเว้น (help)
• Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). "Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series". The Euler Archive. สืบค้นเมื่อ 2007-03-22.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (ลิงก์) Originally published as Euler, Leonhard (1768). "Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques". Memoires de l'academie des sciences de Berlin. 17: 83–106.
• Ferraro, Giovanni (1999). "The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics". Archive for History of Exact Sciences. 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036. {{cite journal}}: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |month= ถูกละเว้น (help)
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCCN 91-0 – 0.
• Kline, Morris (1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine. 56 (5): 307–314. {{cite journal}}: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |month= ถูกละเว้น (help)
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0674920961.
• Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian ed.). Hindustan Pub. Corp. LCCN 68-0 – 0.
• Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (ลิงก์)
• Tucciarone, John (1973). "The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925". Archive for History of Exact Sciences. 10 (1–2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405. {{cite journal}}: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |month= ถูกละเว้น (help)
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0387008365.
• Weidlich, John E. (1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384. {{cite book}}: ไม่รู้จักพารามิเตอร์ |month= ถูกละเว้น (help)