จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์ลูกศรของคนูธ (อังกฤษ: Knuth's up-arrow notation) เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแสดงจำนวนที่มีค่ามาก ๆ คิดค้นโดย โดนัลด์ คนูธ เมื่อปี พ.ศ. 2519
นิยาม[แก้]
การคูณ (multiplication) ของจำนวนนับสามารถนิยามโดยใช้การบวกได้ดังนี้
![{\displaystyle {\begin{matrix}ab&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11cdd98e8c901d217f4a99e92b6899c92da80b06)
เช่น
![{\displaystyle {\begin{matrix}3\times 2&=&\underbrace {3+3} &=&6\\&&2{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8c413924cf4735e66183be42a2a2ad7af08709)
การยกกำลัง (exponentiation) ก็สามารถนิยามโดยใช้การคูณได้ดังนี้
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b942d789d807bf56ca97d1ac33c12c0a04326f)
เช่น
![{\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow 2=3^{2}=&\underbrace {3\times 3} &=&9\\&2{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5800472b729964cbe6a2162f64f3ba817740d8)
ซึ่งเป็นที่มาของการนิยามสัญลักษณ์ลูกศรสองตัว (tetration) ซึ่งนิยามโดย
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow a\uparrow \dots \uparrow a} \\&&b{\mbox{ copies of }}a&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca3f512494e092dca6d81d2e3825e89e8a5b250)
เช่น
![{\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow 2&={\ ^{2}3}=&\underbrace {3^{3}} &=&\underbrace {3\uparrow 3} &=&27\\&&2{\mbox{ copies of }}3&&2{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f814b1c04d9d7ca6e0d9a57ca5ea8ab64af3c9d)
ตัวอย่างของการเขียนสัญลักษณ์ลูกศรสองตัว ได้แก่
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5217b6f0699e9e634d31a294211ccbc027f3cd0)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f16d8856ccb0f745f43e2ac18ee4abae560dfd6)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1aee6f729d926da4441ddb83a719a8a6cb9c750)
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd9642cdca24750ed9d36b02539c5040faa9f3d)
สัญลักษณ์ลูกศรสามตัว (pentation) นิยามโดย
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd86ca8475eff530bfa41bb5a96181f720b84a9d)
สัญลักษณ์ลูกศรสี่ตัว (hexation) นิยามโดย
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow \uparrow a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac5aadae7feae64eee85150dec6b4a5c590f689)
และนิยามเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ นั่นคือ
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ b=a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \dots \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\\\quad \ \ \,n\qquad \ \ \ \underbrace {\quad n_{}\!-\!\!1\quad \ \,n\!-\!\!1\qquad \quad \ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ } \\\qquad \qquad \quad \ \ b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c5da304868b299307e8fd474cec7d7d9d2093e)
เช่น
![{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7\,625\,597\,484\,987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d23619fd523072e42c4105c2bbdb53957fc7f4)
![{\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&7\,625\,597\,484\,987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617536dc99b994598a075957a871d6a30460d317)