จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ในทางฟิสิกส์ มวลลดทอน (Reduced mass) คือ มวลเฉื่อยยังผล (Effective inertia mass) ที่ปรากฏอยู่ในปัญหาที่มีวัตถุ 2 ชิ้นของกลศาสตร์ เป็นปริมาณของมวลหนึ่งอนุภาคที่มีค่าเท่ากับมวลของระบบที่ประกอบด้วยอนุภาค 2 อนุภาค ที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กันภายใต้อันตรกิริยาระหว่างกัน[1] กล่าวคือ เป็นการเปลี่ยนระบบการเคลื่อนที่ของ 2 อนุภาค ให้เป็นปัญหาที่มีวัตถุเพียง 1 ชิ้น มวลลดทอน แทนด้วยสัญลักษณ์
(mu) มีหน่วยเป็น กิโลกรัม (kg)
ยกตัวอย่างเช่น ระบบของโลกและดวงจันทร์ในกลศาสตร์ท้องฟ้า หรือโปรตอนและอิเล็กตรอนของอะตอมไฮโดรเจนในกลศาสตร์ควอนตัม เราสามารถแก้ปัญหาของระบบเหล่านี้ได้สะดวกยิ่งขึ้นเมื่อใช้มวลลดทอน[2]
สมการ[แก้]
มีวัตถุ 2 ชิ้น มีมวล m1 และ m2 ถ้าจะพิจารณาให้เป็นปัญหาที่มี 1 วัตถุ เราสามารถใช้มวลลดทอน ดังสมการ
![{\displaystyle \mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25b9c3439391ddf1d3d8f770553c676630f7147)
สมบัติของมวลลดทอน[แก้]
มวลลดทอนจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับมวลของแต่ละวัตถุเสมอ
![{\displaystyle \mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c31d52ffd07a6c2beadef12234b32ff044430f)
และมีสมบัติการบวกส่วนกลับของมวลลดทอน ดังนี้
![{\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0feed49a2c87d412c8f9fe77c7d107a88db2c7)
ในกรณีที่
![{\displaystyle {\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddbd274b9e605f4366862ebf5ccd6074dd4456d)
ที่มา[แก้]
สมการของมวลลดทอน สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้
กลศาสตร์นิวตัน[แก้]
จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน แรงที่วัตถุที่ 2 กระทำต่อวัตถุที่ 1 คือ
![{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb8f380ce92344ca38abfc65dc1e99f48a7dc2b)
ในขณะเดียวกัน แรงที่วัตถุที่ 1 กระทำต่อวัตถุที่ 2 คือ
![{\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb168561a51a65f65902db3bf1c5d2efac9be1d3)
และจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน แรงที่วัตถุที่ 2 กระทำต่อวัตถุที่ 1 จะเท่ากับแรงที่วัตถุที่ 1 กระทำต่อวัตถุที่ 2 แต่มีทิศทางตรงกันข้าม จะได้ว่า
![{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9ae255acf7ac5d25660339dca92bac68beaa17)
ดังนั้น
![{\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e0d5efc01386d1850397e0dc6f1952cc96a29d)
และ
![{\displaystyle \mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ff0341e053e97bff2a42c49db11deec77da1fd)
ความเร่งสัมพัทธ์ arel ระหว่าง 2 วัตถุ คือ
![{\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{\rm {red}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a83467caed1ebb7c2d6277aa137f3194b34433)
กลศาสตร์แบบลากรางจ์[แก้]
สมการลากรางจ์ของปัญหาที่มีวัตถุ 2 ชิ้น คือ
![{\displaystyle L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/070fbe8e02f23a7a4f89c7956d9738c9e5d5122a)
โดยที่
คือ เวกเตอร์บอกตำแหน่งของมวล
และพลังงานศักย์ V คือฟังก์ชันที่ขึ้นกับระยะห่างระหว่างอนุภาค
กำหนดให้
![{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67120d18e5178eeaf70f2d4094d32fa43f43f21)
และให้จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั้ง 2 ชิ้น เป็นจุดร่วมกัน โดยอยู่ที่จุดกำเนิด
![{\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ab8320f6b50845d2067312022030d6854e7967)
จะได้ว่า
![{\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52045bdc711af11a1441a80a8a2e75c17e2ac3f)
จากนั้น แทนค่า
และ
ในสมการลากรางจ์
![{\displaystyle L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f249bf04d0126af4fbc0c0f49b2b94a86559ba37)
โดยที่
คือ มวลทดทอน
อ้างอิง[แก้]
แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]