ผลต่างระหว่างรุ่นของ "รูปวงรี"
ลไม่มีความย่อการแก้ไข |
ไม่มีความย่อการแก้ไข ป้ายระบุ: แก้ไขจากอุปกรณ์เคลื่อนที่ แก้ไขจากเว็บสำหรับอุปกรณ์เคลื่อนที่ |
||
บรรทัด 1: | บรรทัด 1: | ||
[[ไฟล์:Ellipse-conic.svg|thumb|วงรีซึ่งมาจากการตัดของทรงกรวยกับระนาบ]] |
|||
[[ไฟล์:Ellipse_Properties_of_Directrix_and_String_Construction.svg|thumb|นิยามสองแบบของวงรีซึ่งเทียบเท่ากัน: ใช้โฟกัสสองจุด(เขียว) และใช้โฟกัสกับไดเรกทริกซ์(น้ำเงิน)]] |
|||
'''วงรี''' ({{Lang-en|ellipse}}) เป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ซึ่งล้อมรอบ[[จุดโฟกัส]]สองจุดและทำให้ผลรวมของระยะทางจากจุดบนเส้นโค้งไปหาจุดโฟกัสแต่ละจุดเป็นค่าคงที่ จากนิยามนี้ วงรีถือเป็นนัยทั่วไปของ[[วงกลม]] นั่นคือ วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีที่มีจุดโฟกัสซ้อนกันเป็นจุดเดียว ความยืดของวงรีแสดงด้วยค่า[[ความเยื้องศูนย์กลาง (คณิตศาสตร์)|ความเยื้องศูนย์กลาง]] ซึ่งสำหรับวงรีอาจมีค่าได้ตั้งแต่ 0 (กรณีพิเศษของวงกลม) และมากเข้าใกล้ 1 เท่าใดก็ได้ แต่ไม่ถึง 1 (ซึ่งจะกลายเป็น[[พาราโบลา]]) วงรียังสามารถนิยามเป็นเซตของจุด ที่สำหรับแต่ละจุดในเซต อัตราส่วนของระยะทางไปหาจุดที่กำหนด(ซึ่งจะเป็นหนึ่งในจุดโฟกัส)ต่อระยะทางไปหาเส้นที่กำหนด(เรียกว่าเส้นไดเรกทริกซ์) เป็นค่าคงที่ ซึ่งค่าคงที่นี้จะเท่ากับความเยื้องศูนย์กลางข้างต้น |
|||
วงรีเป็น[[ภาคตัดกรวย]] นั่นคือ เกิดจากการตัดกันของทรงกรวยกับระนาบ (ดูภาพขวา) และยังเป็นภาคตัดของทรงกระบอก ยกเว้นเฉพาะกรณีที่ระนาบตัดขนานกับแกนทรงกระบอก |
|||
== นิยาม == |
== นิยาม == |
||
วงรีมักนิยามเป็น[[โลกัส (คณิตศาสตร์)|โลกัส]]ของจุดในระนาบสองมิติ โดยจากจุดโฟกัส <math>F_1</math>กับ <math>F_2</math>และระยะทาง <math>2a</math>จะนิยามวงรีเป็นเซตของจุด <math>P</math>ทั้งหมดที่ทำให้ผลบวกของระยะทาง <math>|PF_1|</math>กับ <math>|PF_2|</math>เป็น <math>2a</math>หรือเขียนเป็นสัญกรณ์ว่า <math>E = \{P \in \R^2|\ |PF_1| + |PF_2| = 2a \}</math>(กรณีที่ <math>2a \le |F_1F_2|</math>จะลดรูปเป็นเส้นตรง ดังนั้นเพื่อให้เป็นวงรีจะต้องบังคับ <math>2a >|F_1F_2|</math>) |
วงรีมักนิยามเป็น[[โลกัส (คณิตศาสตร์)|โลกัส]]ของจุดในระนาบสองมิติ โดยจากจุดโฟกัส <math>F_1</math>กับ <math>F_2</math>และระยะทาง <math>2a</math>จะนิยามวงรีเป็นเซตของจุด <math>P</math>ทั้งหมดที่ทำให้ผลบวกของระยะทาง <math>|PF_1|</math>กับ <math>|PF_2|</math>เป็น <math>2a</math>หรือเขียนเป็นสัญกรณ์ว่า <math>E = \{P \in \R^2|\ |PF_1| + |PF_2| = 2a \}</math>(กรณีที่ <math>2a \le |F_1F_2|</math>จะลดรูปเป็นเส้นตรง ดังนั้นเพื่อให้เป็นวงรีจะต้องบังคับ <math>2a >|F_1F_2|</math>) |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 07:43, 6 มิถุนายน 2563
นิยาม
วงรีมักนิยามเป็นโลกัสของจุดในระนาบสองมิติ โดยจากจุดโฟกัส กับ และระยะทาง จะนิยามวงรีเป็นเซตของจุด ทั้งหมดที่ทำให้ผลบวกของระยะทาง กับ เป็น หรือเขียนเป็นสัญกรณ์ว่า (กรณีที่ จะลดรูปเป็นเส้นตรง ดังนั้นเพื่อให้เป็นวงรีจะต้องบังคับ )
จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดโฟกัสทั้งสอง เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงรี เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัสทั้งสองเรียกว่าแกนเอก และเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับแกนเอกเรียกว่าแกนโท แกนเอกตัดกับวงกลมที่จุดยอด ซึ่งห่างจากจุดศูนย์กลาง หน่วย ระยะทางจากจุดโฟกัสไปจุดศูนย์กลางเรียกว่าระยะโฟกัส อัตราส่วน คือความเยื้องศูนย์กลาง
สมบัติ
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ แกนเอกขนานแกน x ยาว แกนโทขนานแกน y ยาว เขียนสมการได้เป็น:
ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีเป็นไปตามสูตร
หากใช้ระบบสมการอิงตัวแปรเสริม จะสามารถเขียนวงรีในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น
หากแทน จะได้สมการตัวแปรเสริมอีกรูปคือ
ในพิกัดเชิงขั้ว หากใช้จุดศูนย์กลางของวงรีเป็นจุดกำเนิด และวัดมุมเทียบกับแกนเอก จะได้เป็นสมการ
แต่หากใช่จุดโฟกัสเป็นจุดกำเนิด จะได้สมการที่ง่ายกว่า คือ
วงรีมีพื้นที่ เห็นได้จากการมองวงรีเป็นวงกลมรัศมี ที่ถูกยืดออก เท่า จึงได้พื้นที่เป็น หรืออาจพิสูจน์จากการอินทิเกรต โดยจัดรูปสมการวงรี เป็น อินทิเกรตจาก ถึง จะได้พื้นที่ครึ่งบน ดังนั้นได้เป็น
ความยาวรอบรูปของวงรีไม่สามารถเขียนเป็นสูตรอย่างง่ายได้ โดยมีค่าเท่ากับอินทิกรัล
เมื่อ เป็นปริพันธ์วงรีสมบูรณ์ชนิดที่สอง (Complete elliptic integral of the second kind)
สูตรความยาวรอบรูปสามารถเขียนในรูปอนุกรมอนันต์ได้เป็น
รามานุจันได้ให้สูตรประมาณค่าความยาวรอบรูปว่า