จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ปัญหาบาเซิล เป็นปัญหาทางคณิตวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน ปัญหานี้ถูกตั้งขึ้นครั้งแรกโดย ปิเอโตร เมนโกลี ในปี พ.ศ. 2187 และถูกแก้โดย เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ในปี พ.ศ. 2277[1] ปัญหานี้ได้ตั้งชื่อตามชื่อของเมืองบาเซิล บ้านเกิดของออยเลอร์
ปัญหาดังกล่าวเกี่ยวกับการหาผลรวมของอนุกรม
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b23a385136496b4ed782629e987abb489aaa49)
ผลรวมของอนุกรมดังกล่าวมีค่าประมาณ 1.644934 ปัญหาบาเซิลถามถึงการหาค่าที่แม่นยำในรูปแบบปิดของผลรวมดังกล่าว ออยเลอร์ค้นพบว่าผลรวมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ π2/6 และได้ประกาศการค้นพบในปี พ.ศ. 2277
วิธีการหาผลรวมของออยเลอร์[แก้]
วิธีการของออยเลอร์ มาจากการพิจารณาคุณสมบัติบางประการของพหุนามจำกัด แลัวสมมุติว่าคุณสมบัติเหล่านี้ยังคงเป็นจริงในกรณีอนันต์ หรืออนุกรมกำลัง
ออยเลอร์เริ่มต้นด้วยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ของฟังก์ชันไซน์:
![{\displaystyle \sin {x}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85591ed7df524cf4ef6f3cd306c348417ea65661)
ซึ่งออยเลอร์มองฝั่งขวาเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์ แล้วใช้คุณสมบัติที่ว่าพหุนามใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณของตัวประกอบดีกรีหนึ่งได้ ซึ่งรากของฟังก์ชันไซน์อยู่ที่
จึงได้เป็นผลคูณว่า
![{\displaystyle x(x-\pi )(x+\pi )(x-2\pi )(x+2\pi )(x-3\pi )(x+3\pi )...=x(x^{2}-\pi ^{2})(x^{2}-2^{2}\pi ^{2})(x^{2}-3^{2}\pi ^{2})...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378eaa7e8a114df5299cc341bbea135399467b5e)
หรือเขียนอีกแบบได้เป็น
![{\displaystyle Ax\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5d4daeda6dc5ed18b2b50868b7bf04d754d0f3)
ซึ่งจากสมบัติว่า
เมื่อ
แสดงว่า
ดังนั้น
![{\displaystyle x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc188b6f8694ef37c9b58d60af5fcba610a3289)
จับสัมประสิทธิ์ของ
ทั้งสองข้างมาเท่ากัน จะได้ว่า
![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{3!}}&=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}\pi ^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}\pi ^{2}}}-...\\{\frac {\pi ^{2}}{6}}&=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+...\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7478f8112094cb694106590a26bfe51b0a1c57f9)
สรุปได้ว่า
เป็นผลรวมของอนุกรม[2]
อ้างอิง[แก้]
แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]
- A013661 จาก The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences®