ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุโลเอ็น

ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น (อังกฤษ: Congruence of squares (mod n)) ในเรื่องทฤษฎีจำนวนนั้นได้ถูกนำมาใช้บ่อยครั้งในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม โดยเริ่มต้นจากปัญหาที่ว่า " จงหาจำนวนเต็ม x,y ที่ทำให้สมการดังกล่าวเป็นจริง เมื่อกำหนดจำนวนเต็ม n " โดย

$x^{2}-y^{2}=n\,\!$

ซึ่งการใช้ขั้นตอนวิธีการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มของแฟร์มาต์ (อังกฤษ: Fermat's factorization method) โดยการพยายามแยกตัวประกอบของ n ในรูปแบบ n = x² − y² = (x + y) (x − y). นั้น ต้องใช้เวลาที่ยาวนานมากในการค้นหาคำตอบ เพราะต้องค้นหาคำตอบที่เป็นไปได้เป็นจำนวนมาก และมีตัวเลขที่อาจเป็นคำตอบได้จริงน้อยมาก ในทางปฏิบัติจึงไม่นิยมใช้ แต่จะอาศัยการแยกตัวประกอบจากปัญหาที่ง่ายกว่า ซึ่งคือ ปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็น ซึ่งสามารถเขียนเป็นสมการได้ดังนี้

$x^{2}\equiv y^{2}{\pmod {n}}$ และเพิ่มข้อกำหนดว่า $x\not \equiv \pm y{\pmod {n}}$ เพื่อจำกัดปริมาณชุดคำตอบที่ได้ให้อยู่ในขอบเขตที่ต้องการ

ขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหา

จากสมการ $x^{2}\equiv y^{2}{\pmod {n}}$ จะได้ว่าเราสามารถเปลี่ยนรูปของปัญหาดังนี้

$x^{2}-y^{2}\equiv 0{\pmod {n}}$

$(x+y)(x-y)\equiv 0{\pmod {n}}$

ซึ่งหมายความว่า $(x+y)(x-y)$ สามารถหาร $n$ ลงตัว แต่ด้วยข้อกำหนดที่ว่า $x\not \equiv \pm y{\pmod {n}}$ จึงจะได้ว่า $(x+y)$หรือ $(x-y)$ ไม่สามารถหารด้วย n ลงตัวได้เพียงตัวใดตัวหนึ่ง โดยอาจใช้วิธีการแก้ปัญหาดังนี้

1.) ใช้วิธีการหาตัวหารร่วมมากโดยวิธีการของยูคลิด ซึ่งในที่นี้ $(a,b)$ แทนตัวหารร่วมมากของ a และ b จากที่กล่าวไปดังข้างต้น จึงสามารถอธิบายได้ว่า $(x+y,n)$ และ $(x-y,n)$ ต้องมีตัวประกอบทุกตัวของ n หรือสามารถอธิบายได้ว่า $(x+y,n)\cdot (x-y,n)=kn$ โดย k คือจำนวนเต็มบวกตัวหนึ่ง โดยเราจะพิจารณา $x$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกมีค่าอยู่ระหว่าง $\left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil$ ถึง $n$ และทำการค้นหา y ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ทำให้ x+y เป็นตัวประกอบ และทำการตรวจสอบว่าค่าของ (x-y,n) ว่ามีค่าสอดคล้องตามที่ต้องการหรือไม่ โดยวิธีการหาตัวหารร่วมมากโดยขั้นตอนวิธีการของยูคลิด(อังกฤษ: Euclidean algorithm) ดังนี้

ในการหาตัวหารร่วมมากระหว่าง a และ b โดยกำหนด a > b จะมีวิธีการหาตัวหารร่วมมากดังนี้ โดยมีข้อกำหนดว่า ทุกๆขั้นตอนที่ k ใดๆ ( k คือ 0 หรือ จำนวนเต็มบวกใดๆ) r_k−2 = q_k r_k−1 + r_k ซึ่ง ( 0≤ r_k , q_k $=$ ± $\lfloor {\frac {|a|}{|b|}}\rfloor$ โดย q_kจะมีเครื่องหมายเป็นลบเมื่อ a เป็นจำนวนเต็มบวก และ b เป็นจำนวนเต็มลบ หรือ a เป็นจำนวนเต็มลบ และ b เป็นจำนวนเต็มบวก) โดยจะมีขั้นตอนการดำเนินการดังนี้

a = q₀ b + r₀

b = q₁ r₀ + r₁

r₀ = q₂ r₁ + r₂

r₁ = q₃ r₂ + r₃

…

r_n-2 = q_n r_n-1

จากสมการข้างต้นจะได้ q_n = $(a,b)$ ซึ่งจะเห็นได้ว่า จะสามารถตรวจคำตอบได้อย่างรวดเร็วซึ่งใช้เวลาไม่เกิน O(h) โดย h เป็นจำนวนหลักของ b ที่เป็นจำนวนที่น้อยกว่า a จากข้อกำหนด ซึ่ง h = $\lfloor k\rfloor$ + 1 ( โดย k= log₁₀(b) )

2.)ทำการค้นหา $x^{2}\equiv z{\pmod {n}}$ โดยค้นหา x ที่มีค่าระหว่าง $\lceil {\sqrt {n}}\rceil$ ถึง n แล้วทำการตรวจสอบค่า z ที่ได้ว่า ${\sqrt {z}}$ เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ ถ้าเป็นจำนวนเต็มก็จะกำหนดให้ ${\sqrt {z}}=y$ แล้วทำการตรวจสอบตัวหารร่วมมากระหว่าง (x-y) และ (x+y) ว่าตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดหรือไม่ ตัวอย่าง เช่น กำหนดให้ n = 35 จงหาจำนวนเต็มบวก x,y ที่ทำให้ $x^{2}-y^{2}\equiv 0{\pmod {n}}$ จะได้ว่าทำการค้นหาค่า x ตั้งแต่ 6 ถึง 35 แต่ได้พบว่าเมื่อ x = 6 จะได้ว่า

$\textstyle 6^{2}=36\equiv 1\equiv 1^{2}{\pmod {n}}$ เพราะฉะนั้นจะได้ว่า x = 6 , y = 1 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ ซึ่งจากการตรวจสอบ (6-1,35) = 5 และ (6+1,35) = 7 ซึ่งจะพบว่าตรงตามเงื่อนไขที่ได้กำหนดไว้ จึงถือว่า x=6,y=1 เป็นคำตอบหนึ่งของสมการนี้

รหัสเทียมและประสิทธิภาพการทำงาน

จากแนวคิดขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาข้างต้น จะพบว่า ถ้าจะทำการเขียนรหัสเทียม (อังกฤษ: Pseudocode) เพื่อแสดงขั้นตอนการทำงานที่เกิดขึ้น หรือเป็นการแสดงขั้นตอนเบื้องต้นที่เกิดขึ้นในการใช้คอมพิวเตอร์ในการดำเนินการแก้ไขปัญหานั้น จะสามารถแสดงขั้นตอนต่างๆเป็นรหัสเทียมได้ดังนี้

- รหัสเทียมเพื่อการค้นหาตัวหารร่วมมาก

function gcd(a, b)

while b ≠ 0

begin

t := b

b := a mod b

a := t

end

return a

จากรหัสเทียมข้างต้น function gcd จะทำการหาค่าของตัวหารร่วมมากระหว่าง a และ b แล้วทำการคืนค่าตัวหารร่วมมากกลับมาจากการเรียกใช้ function โดยจะเสียเวลาทำงานไม่เกิน O(h) โดย h เป็นจำนวนหลักของ b ที่เป็นจำนวนที่น้อยกว่า a จากข้อกำหนด ซึ่ง h = $\lfloor k\rfloor$ + 1 ( โดย k= log₁₀(b) ) ตามที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น ซึ่งเมื่อนำไปใช้ต่อไปในขั้นตอนการแก้ปัญหาต่อไปในรูปแบบที่นำเสนอไปดังข้างต้น ซึ่งอาจเขียนเป็นรหัสเทียมได้ดังนี้

สำหรับรหัสเทียมต่อไปนี้จะเป็นการนำไปใช้ต่อเพื่อหาผลลัพธ์ในรูปแบบที่ 1.)

function csquare(n)

x = ceil(sqrt(n))

while x <= n

begin

y := 1

while y < x

begin

if (gcd(x+y,n) > 1)

begin

if (gcd(x-y,n) * gcd(x+y,n) mod n == 0)

begin

print(x) print(y) break

end

end

y:=y+1

end

x := x+1

end

จากรหัสข้างต้น สามารถอธิบายได้ดังนี้ โดยเริ่มต้นนั้นกำหนดค่าให้ x= $\lceil {\sqrt {n}}\rceil$ เพื่อจะได้ทำการค้นหาในช่วง $\lceil {\sqrt {n}}\rceil$ ถึง n ตามต้องการ แล้วจึงทำการทดสอบค่า y ที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก (ตั้งแต่ 1 ถึง x) ซึ่งถ้าพบว่าตรงตามเงื่อนไขที่ต้องการก็จะแสดงคำตอบและหยุดการทำงานทันทีเมื่อพบคำตอบชุดหนึ่งแล้ว ซึ่งจะทำให้เสียเวลาการทำงานรวมทั้งสิ้นจากการทำวงวนภายนอก Θ (n) และกระบวนการทำงานภายในที่ต้องวิ่งแปรผันตามค่า x รวมทั้งสิ้น O(x) จึงเสียเวลา O($n^{2}$) และเมื่อคำนึงถึงการเรียกใช้ function gcd ที่มีภาระเป็น O(log n) แล้ว จึงได้ว่ากระบวนการทำงานตามรหัสเทียมดังกล่าวจะใช้เวลาในการทำงานรวมทั้งสิ้น O($n^{2}$ log(n))

สำหรับรหัสเทียมต่อไปนี้จะเป็นการนำไปใช้ต่อเพื่อหาผลลัพธ์ในรูปแบบที่ 2.)

function csquare(n)

x = ceil(sqrt(n))

while x <= n

begin

z := (x*x) mod n

if (sqrt(z) is integer)

begin

y := sqrt(z)

if (gcd(x-y,n) * gcd(x+y,n) mod n == 0)

begin

print(x) print(y) break

end

end

x := x+1

end

จากรหัสข้างต้น สามารถอธิบายได้ดังนี้ โดยเริ่มต้นนั้นกำหนดค่าให้ x= $\lceil {\sqrt {n}}\rceil$ เพื่อจะได้ทำการค้นหาในช่วง $\lceil {\sqrt {n}}\rceil$ ถึง n ตามต้องการ เช่นเดียวกับรูปแบบที่ 1.) แล้วจึงทำการหาค่า z โดย $x^{2}\equiv z{\pmod {n}}$ โดยทำการทดสอบว่า ${\sqrt {z}}$ เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ โดยถ้าเป็นจำนวนเต็มจะกำหนดให้ y = ${\sqrt {z}}$ แล้วจึงทำการตรวจคำตอบโดยการตรวจสอบตัวหารร่วมมากของ (x+y,n) และ (x-y,n) ว่าเป็นไปตามเงื่อนไขที่ได้กำหนดหรือไม่ ซึ่งถ้าพบว่าตรงตามเงื่อนไขที่ต้องการก็จะแสดงคำตอบและหยุดการทำงานทันทีเมื่อพบคำตอบชุดหนึ่งแล้ว ซึ่งจะทำให้เสียเวลาการทำงานรวมทั้งสิ้นจากการทำวงวน Θ (n) และเมื่อคำนึงถึงการเรียกใช้ function gcd ที่มีภาระเป็น O(log n) แล้ว จึงได้ว่ากระบวนการทำงานตามรหัสเทียมดังกล่าวจะใช้เวลาในการทำงานรวมทั้งสิ้น O(n log(n)) ซึ่งจะเห็นได้ว่าอาจทำงานเร็วกว่ารูปแบบที่ 1.) แต่ก็จะใช้หน่วยความจำที่มากกว่าเพราะต้องคำนวณ $x^{2}$ mod n

ปัญหาที่เกี่ยวข้อง

สำหรับปัญหาคอนกรูเอนซ์ของจำนวนเต็มยกกำลังสองมอดุลโลเอ็นนั้น โดยวิธีการแก้ปัญหาที่ได้นำเสนอนั้น เป็นวิธีการพื้นฐานเท่านั้น ซึ่งได้มีผู้พัฒนาวิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวเพื่อให้มีประสิทธิภาพยิ่งขึ้นในทางปฏิบัติ เช่น วิธีการแยกตัวประกอบแบบดิกซ์ซัน(อังกฤษ: Dixon's factorization method) รวมถึงเป็นพื้นฐานในการแก้ไขปัญหาอื่นๆอีกมากที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน เช่น ปัญหาตะแกรงกำลังสอง(อังกฤษ: Quadratic sieve) , ปัญหาตะแกรงของจำนวนเต็มใดๆ(อังกฤษ: General number field sieve) เป็นต้น

เพิ่มเติม

สำหรับนิยามสัญกรณ์เชิงเวลาที่ได้ใช้เพื่อประเมินประสิทธิภาพเชิงเวลา เช่น สัญกรณ์โอใหญ่ (อังกฤษ: Big O-notation) รวมถึง ความรู้เกี่ยวกับสัญกรณ์เชิงเวลาในรูปแบบภาพยนตร์เพื่อการศึกษาภาษา ซึ่งสามารถค้นคว้าเพิ่มเติมได้ทั้งในรูปแบบของภาพยนตร์เพื่อการศึกษาและบทความเพื่อความเข้าใจ รวมถึงข้อมูลอื่นๆเพื่อประกอบการแก้ปัญหานั้น เช่น บทความทางด้านความรู้ต่างๆเกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน เช่น ความรู้ที่เกี่ยวข้องกับเลขคณิตมอดุลาร์(อังกฤษ: Modular arithmetic) รวมถึงความสัมพันธ์ในรูปแบบคอนกรูเอนซ์(อังกฤษ: Congruence relation) และสัญลักษณ์ต่างๆที่ใช้ในการเขียนรหัสเทียม รวมถึงหลักภาษาในการเขียนรหัสเทียมเพื่อบรรยายขั้นตอนวิธีเพื่อการทำงานตามความต้องการ สามารถอ่านเพิ่มเติมได้ในบทความ How to write Pseudocode (ในรูปแบบ.doc) รวมถึง รวมถึงความรู้เพื่อประกอบความเข้าใจอื่นๆซึ่งสามารถพบได้ในส่วนของอ้างอิง

อ้างอิง

หนังสือประกอบการอ้างอิง

1. ณรงค์ ปั้นนิ่ม (2004). ทฤษฎีจำนวน (1st ed.). โครงการตำราวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ มูลนิธิส่งเสริมโอลิมปิกวิชาการและพัฒนามาตรฐานวิทยาศาสตร์ศึกษา. ISBN 9-749-22351-9. .
2. Kenneth H. Rosen (2005). Elementary number theory and its applications (5th ed.). Pearson/Addison Wesley. ISBN 0-321-26314-6. .