สมการชาชิโย

สมการชาชิโย คือ สมการที่อธิบายพลังงานสหสัมพันธ์ของก๊าซอิเล็กตรอนที่มีอันตรกิริยา มีความสำคัญในทางฟิสิกส์ของไทย และของโลก สมการดังกล่าวถูกเสนอขึ้นในปี พ.ศ. 2559 โดย ดร.ทีปานิส ชาชิโย และถูกเรียกโดยตำราวิชาการหรืองานวิจัย ว่า “Chachiyo correlation functional” หรือ “สมการชาชิโย” โดยมีรูปสมการดังนี้

$\epsilon _{c}(r_{s})=A\log \left(1+{\frac {B}{r_{s}}}+{\frac {C}{r_{s}^{2}}}\right)$

เมื่ออิเล็กตรอนอยู่ภายในสสาร มุมมองหนึ่งก็คือ มันอยู่ในสถานะ “ก๊าซ” ซึ่งสมมุติให้เป็นระบบเอกพันธ์ (homogeneous) กล่าวคือ มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ $\rho =N/V$ และตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับความหนาแน่นก็คือ $r_{s}$ เป็นพารามิเตอร์ที่บอกรัศมีของทรงกลมสมมุติอันหนึ่ง ที่บรรจุอิเล็กตรอนได้หนึ่งตัวพอดี เรียกว่า รัศมีไซส์ (Seitz radius) นอกจากนี้ พารามิเตอร์ $r_{s}$ ยังบอกถึงระยะห่างระหว่างอิเล็กตรอนที่กระจายตัวกันอยู่ ตามโมเดลของก๊าซอิเล็กตรอนอันนี้ โลหะซึ่งมีอิเล็กตรอนอิสระกระจายตัวอยู่อย่างหลวมๆ จะมี $r_{s}\sim 4$ หรือประมาณ 2 อังสตรอม ในขณะที่บริเวณใกล้กับนิวเคลียส อิเล็กตรอนถูกบีบให้หนาแน่นสูงเนื่องจากแรงดึงดูดทางไฟฟ้าจากนิวเคลียส ดังนั้น $r_{s}\ll 1$ กล่าวคือ อิเล็กตรอนอยู่ใกล้กันมาก นั่นเอง

เมื่อสมมุติให้ก๊าซอิเล็กตรอนเป็นระบบเอกพันธ์ อิเล็กตรอนแต่ละตัวไม่ได้เคลื่อนที่อย่างอิสระ แต่มีอันตรกิริยาต่อกัน ส่งผลให้ระบบมีพลังงานที่จำแนกได้เป็นประเภทต่างๆ ตามแต่ประเภทของอันตรกิริยานั้นๆ และพลังงานชนิดหนึ่งก็คือ พลังงานสหสัมพันธ์ (Correlation Energy)

ในปี พ.ศ. 2477 วิกเนอร์ (E. Wigner) ได้ประมาณค่าพลังงานสหสัมพันธ์ ในกรณี $r_{s}\gg 1$ ที่มีรูปฟอร์มคล้ายกับอันตรกิริยาทางไฟฟ้า กล่าวคือ

$\epsilon _{c}=-{\frac {0.8757}{r_{s}}}$

นอกจากนี้วิกเนอร์ยังเป็นคนแรกที่ใช้ชื่อว่า พลังงานสหสัมพันธ์ ซึ่งมีความสำคัญเมื่อต้องการทำนายสมบัติต่างๆของสสารให้แม่นยำ อาทิเช่น พันธะเคมี โครงสร้างของผลึก การสั่นในระดับอะตอม และสภาพทางแม่เหล็กของโลหะ เป็นต้น

ในปี พ.ศ. 2500 เกลล์มานน์และบรุคเนอร์ (M. Gell-Mann and K. A. Brueckner) ได้ใช้วิธีทฤษฎีสนามควอนตัม (quantum field theory) เพื่อวิเคราะห์พลังงานสหสัมพันธ์ของระบบที่มีความหนาแน่นสูง หรือ $r_{s}\ll 1$ มีรูปสมการดังนี้

$\epsilon _{c}(r_{s})=-0.094+0.0622\log(r_{s})+O(r_{s})$

สิ่งที่ทั้งสองสมการข้างต้นยังขาดไปก็คือ การเชื่อมต่อ ทั้งสองลิมิต $r_{s}\gg 1$ และ $r_{s}\ll 1$ เข้าด้วยกัน เมื่อขาดรูปแบบของสมการเชิงวิเคราะห์ (analytic) ที่ครอบคลุมทุกช่วงของความหนาแน่นเข้าด้วยกัน จึงเป็นปัญหากับนักฟิสิกส์ทฤษฎีในสมัยนั้นอย่างมาก และต่อเนื่องมาหลายสิบปี นอกจากนี้ ความเรียบง่ายของสมการยังมีความสำคัญ เพราะในการคำนวณสมบัติหลายอย่างที่ตามมา เช่น แรง ความดัน ความจุความร้อน จะต้องมีการนำสมการดังกล่าวมาวิเคราะห์ในทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น ไม่ว่าจะเป็นการหาอนุพันธ์ การอินทิเกรต ซึ่งหากรูปแบบของพลังงานสหสัมพันธ์มีความซับซ้อนตั้งแต่ต้นเสียแล้ว การคำนวณสมบัติอื่นๆที่จะตามมา ย่อมต้องซับซ้อนมากขึ้นไปอีก

สมการชาชิโย เป็นสมการที่ครอบคลุมทั้งสองลิมิตและมีความเรียบง่าย ซึ่งถูกเผยแพร่เป็นครั้งแรกในบทความเรื่อง “Simple and accurate uniform electron gas correlation energy for the full range of densities” นับเป็นสมการที่มีรูปแบบสวยงามมหัศจรรย์สมการหนึ่ง