วงเล็บลากรานจ์
วงเล็บลากรานจ์ (Lagrange bracket) เสนอโดยโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ ในปี ค.ศ.1808–1810 เพื่อเป็นสูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับกลศาสตร์คลาสสิก แต่แตกต่างจากวงเล็บปัวซง (Poisson brackets)
นิยาม[แก้]
กำหนดให้ (q1, …, qn, p1, …, pn) เป็นพิกัดคาโนนิคัล (canonical coordinates) ในปริภูมิเฟส(phase space) จะได้วงเล็บลากรานจ์
สมบัติของวงเล็บลากรานจ์[แก้]
- วงเล็บลากรานจ์ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดคาโนนิคัล (q, p) ถ้า (Q,P) = (Q1, …, Qn, P1, …, Pn) ดังนั้น
- เป็นการแปลงคาโนนิคัล สมบัติ invariant ของวงเล็บลากรานจ์เป็น
- ถ้า Ω คือ symplectic form ในปริภูมิเฟสสองมิติ W และ u1,…,u2n คือระบบพิกัดบนปริภูมิ W พิกัดคาโนนิคัล (q,p) อาจเขียนได้เป็นฟังก์ชันของพิกัด u และเมตริกซ์ของวงเล็บลากรานจ์
- แทนองค์ประกอบของ Ω ในรูปของเทนเซอร์ ในพิกัด u เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์ผกผัน (inverse matrix) เขียนให้อยู่ในรูปวงเล็บปัวส์ซอง
- พิกัด (Q1, …, Qn, P1, …, Pn) ในปริภูมิเฟสเป็นพิกัดคาโนนิคอล วงเล็บลากรานจ์ระหว่างพิกัดทั้งสองเขียนได้เป็น
เมื่อ คือ เดลตาโครเนกเกอร์ (Kronecker delta)
ดูเพิ่ม[แก้]
อ้างอิง[แก้]
- Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
- Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257–277. MR1659212
แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]
- Eric W. Weisstein, "Lagrange bracket" จากแมทเวิลด์.
- A.P. Soldatov (2001), "Lagrange bracket", ใน Hazewinkel, Michiel (บ.ก.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4