วงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกของรูปสามเหลี่ยม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
รูปสามเหลี่ยมกับวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอก

ในเรขาคณิต วงกลมแนบใน (incircle หรือ inscribed circle) ของรูปสามเหลี่ยม คือ วงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม มันจะสัมผัสกับด้านทั้ง 3 ด้าน จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน เรียกว่า ศูนย์กลางวงกลมแนบใน (incenter). วงกลมแนบนอก (excircle หรือ escribed circle) ของรูปสามเหลี่ยม คือ วงกลมที่อยู่ติดด้านนอกของรูปสามเหลี่ยม สัมผัสกับด้าน 1 ด้านและส่วนขยายที่ยื่นออกมาทั้ง 2 ด้าน สามเหลี่ยมทุกรูปจะมีวงกลมแนบนอกอยู่ 3 วง และสัมผัสกับด้านของรูปสามเหลี่ยม

จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน สามารถหาได้จากจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในทั้ง 3 เส้น จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบนอกหาได้จากจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน 1 เส้น และเส้นแบ่งครึ่งมุมภายนอกอีก 2 เส้น จากรูปนี้ จะเรียกจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในและจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบนอกทั้ง 3 ว่าระบบออร์โทเซนตริก

รัศมีของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกนั้น มีความเกี่ยวข้องกับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมอย่างใกล้ชิด ถ้า S คือพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ที่มีด้าน a, b และ c แล้วรัศมีของวงกลมแนบใน หรือ รัศมีใน (inradius) จะเท่ากับ 2S/(a+b+c) รัศมีของวงกลมแนบนอกที่ด้าน a จะเท่ากับ 2S/(-a+b+c) รัศมีของวงกลมแนบนอกที่ด้าน b จะเท่ากับ 2S/(a-b+c) และรัศมีของวงกลมแนบนอกที่ด้าน c จะเท่ากับ 2S/(a+b-c) จากสูตรเหล่านี้ เราจะเห็นว่าวงกลมแนบนอกจะใหญ่กว่าวงกลมแนบในเสมอ และวงกลมแนบนอกที่ใหญ่ที่สุดจะอยู่บนด้านที่ยาวที่สุด