ฟองน้ำเมงเงอร์
ฟองน้ำเมงเงอร์ (อังกฤษ: Menger sponge) คือชื่อเรียกของแฟร็กทัลอย่างหนึ่งที่เป็นส่วนขยายในสามมิติของเซตคันทอร์ (Cantor set) กับพรมเซียร์พินสกี (Sierpinski carpet) ซึ่งบางตำราอาจเรียกว่า ฟองน้ำเมงเงอร์-เซียร์พินสกี หรือ ฟองน้ำเซียร์พินสกี และหมายรวมไปถึงแฟร็กทัลหรือกราฟที่เป็นซับเซตของฟองน้ำเมงเงอร์ด้วย เหตุที่เรียกว่าฟองน้ำคือแฟร็กทัลในสามมิตินี้มีรูพรุนทั่วทั้งวัตถุคล้ายฟองน้ำ คาร์ล เมงเงอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย เป็นผู้อธิบายโครงสร้างและลักษณะของแฟร็กทัลชนิดนี้เป็นครั้งแรกใน ค.ศ. 1926
การสร้างฟองน้ำเมงเงอร์
[แก้]การสร้างฟองน้ำเมงเงอร์สามารถอธิบายได้ดังนี้
- เริ่มต้นจากทรงลูกบาศก์ (รูปแรก) เป็นฟองน้ำเมงเงอร์ระดับศูนย์
- แบ่งย่อยแต่ละหน้าออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 9 รูป ซึ่งทำให้ทรงลูกบาศก์ถูกแบ่งออกเป็น 27 ชิ้นย่อย คล้ายลูกบาศก์ของรูบิค
- นำทรงลูกบาศก์ย่อยที่อยู่ตรงกลางของทุกหน้าออก รวมทั้งชิ้นที่อยู่ตรงกลางภายใน เหลือไว้เพียง 20 ชิ้น เป็นฟองน้ำเมงเงอร์ระดับหนึ่ง (รูปที่สอง)
- ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 ถึง 3 กับทรงลูกบาศก์ย่อยที่เหลือ
การทำซ้ำรอบสองจะได้ฟองน้ำระดับสอง (รูปที่สาม) รอบสามจะได้ฟองน้ำระดับสาม (รูปที่สี่) เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ
จำนวนชิ้นของทรงลูกบาศก์จะเพิ่มทีละ 20 เท่าจากระดับก่อนหน้า หรืออธิบายได้จาก เมื่อ n คือจำนวนรอบของการทำซ้ำ ในข้อแรกซึ่งยังไม่มีการวนรอบ จะมีทรงลูกบาศก์เพียงชิ้นเดียว ()
รอบ | จำนวน | ผลรวม |
---|---|---|
0 | 1 | 1 |
1 | 20 | 21 |
2 | 400 | 421 |
3 | 8,000 | 8,421 |
4 | 160,000 | 168,421 |
5 | 3,200,000 | 3,368,421 |
6 | 64,000,000 | 67,368,421 |
นิยามทั่วไป
[แก้]ฟองน้ำเมงเงอร์สามารถนิยามได้จาก
เมื่อ คือทรงลูกบาศก์หนึ่งหน่วย และ
ดังนั้นฟองน้ำเมงเงอร์ในระดับอนันต์ จึงมีพื้นที่ผิวเป็นอนันต์ จำนวนหน้าเป็นอนันต์ และมีปริมาตรเป็นศูนย์
อ้างอิง
[แก้]- Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
- Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
ดูเพิ่ม
[แก้]- รูปสามเหลี่ยมเซียร์พินสกี (Sierpinski triangle)
- ทรงสี่หน้าเซียร์พินสกี (Sierpinski tetrahedron)
แหล่งข้อมูลอื่น
[แก้]- An interactive Menger sponge
- Fractal polyhedra เก็บถาวร 2008-05-15 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน (VRML) and interactive Java models เก็บถาวร 2005-12-17 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
- Puzzle Hunt — Video explaining Zeno's paradoxes using Menger-Sierpinski sponge
- Menger Sponge Animations เก็บถาวร 2021-02-27 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน — Menger Sponge Animations up to Level 9, discussion of optimization for 3d