พูดคุย:สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

สัจพจน์ของความน่าจะเป็น รูปแบบอื่นที่ตรงกับของคอลโมโกรอฟ

The article, as stated in the comment, gives presentation of the Kolmogorov's axiom in its original form. (You can get the original book by Kolmogorov for free here http://www.probabilityandfinance.com/misc/grund.pdf) The one in en.wiki is the one usually found in newer books. I thought it would be nice to preserve the original presentation. However, if you think it's not appropriate, you can change it. Here are some:

Papoulis
We assign to each event A a number $P(A)$ wich we call the probability of the event A with the following properties:

1. $P(A)\geq 0$ for an event A
2. $P(\Omega )=1$
3. $P(A+B)=P(A)+P(B)$ for mutally exclusive events A and B

The author then extended the axiom from field( finite additivity ) to σ-field (countable additivity )

Woods & Stark
A probability space is $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ where

• $\Omega$ is the sample space
• ${\mathcal {F}}$ is σ-algebra on $\Omega$, and
• probability $P$ is a set of function P[] that assigns to every event $E\in {\mathcal {F}}$ a number $P[E]$ such that
  1. $P[E]\geq 0$
  2. $P[\Omega ]=1$
  3. $P[E\cup F]=P[E]+P[F]\quad {\mbox{if}}\quad EF=\emptyset$

Billingsley
A set function P on a field ${\mathcal {F}}$ is a probability measure if it satisfies these conditions:

1. $0\leq P(A)\leq 1\quad {\mbox{for}}\quad A\in {\mathcal {F}}$
2. $P(\emptyset )=0$ amd $P(\Omega )=1$
3. if $A_{1},A_{2},\ldots$ is a disjoint sequence of ${\mathcal {F}}$ -sets and if $\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\in {\mathcal {F}}$ then

$P(\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k})=\sum _{k=1}^{\infty }P(A_{k})$

Borovkov
Consider a space Ω and a system ${\mathcal {A}}$ of its subsets which forms an algebra of events. A probability on $(\Omega ,{\mathcal {A}})$is a real-valued function defined on a set from ${\mathcal {A}}$ and having the following properties:

1. $P(A)\geq 0\quad {\mbox{for any}}\quad A\in {\mathcal {A}}$
2. $P(\Omega )=1$
3. if a sequence of events ${A_{n}}$ is such that $A_{i}A_{j}=\emptyset \quad {\mbox{for}}\quad i\neq j\quad {\mbox{and}}\quad \cup _{1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}$ then

$P(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})$

Pollard
A function μ defined on the sigma-field ${\mathcal {A}}$ of subsets of X is called a (countably additive, nonnegative) measure if

1. $0\leq \mu A\leq \infty$ for each $A\quad {\mbox{in}}{\mathcal {A}}$
2. $\mu \emptyset =0$
3. if $A_{1},A_{2},\ldots$ is a countable collection of pairwise disjoint sets in ${\mathcal {A}}$ then $\mu (\cup _{i}A_{i})=\sum _{i}\mu A_{i}$

and when $\mu X=1\quad \mu$ is called probability measure

These and the one in Kolmogorov's book are practically identical. --ไร้สติ 03:56, 25 กันยายน 2005 (UTC)

---

ในหัวข้อสัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ ${\mathfrak {F}}$ คิดว่าเป็น ซิกมาฟิลด์ (σ-field) หรือเปล่าครับ? เออ แล้วงง ๆ ว่าสัจพจน์ข้อสองนี่ไม่ได้เป็นนิยามของ ซิกมาฟิลด์ อยู่แล้ว? (ดูจากนิยามใน en:Field of sets) -- จุง 17:44, 31 มกราคม 2006 (UTC)

เอ่อ คือ ปกติในหนังสือ ใหม่ๆ จะนิยามโดยดึงส่วน ของ sigma-algebra ออกไปไว้ในบริบท(ส่วนที่ระบุโครงสร้าง) แล้ว เหลือเพียงสามข้อเกี่ยวกับคุณสมบัติของการวัดค่าความน่าจะเป็นไว้ แต่ในหนังสือของKolmogorov ก็ไม่ได้มีอะไรแตกต่างแต่ เขานำเสนอทุกอย่างเรียงเป็นข้อๆ อย่างที่เห็นโดยไม่ได้มีการกำหนดรายละเอียดของปริภูมิไว้เป็นบริบท แต่รวมเอาไว้เป็นข้อๆ โดยเริ่มจาก

ถ้า ${\boldsymbol {\Omega }}$ เป็น เชตของเหตุการณ์พื้นฐานของการสุ่ม ...

แล้วก็กำหนดทุกอย่างจากนี้ไป โดยไม่ต้องใช้บริบทนำร่อง (แต่มีเนื้อหาเหมือนกัน ต่างกันแค่ เอาบางส่วนออกไปไว้ในบริบท กับ กล่าวทั้งหมดไว้ในยวงเดียว เท่านั้นเอง)

ไร้สติ 17:55, 31 มกราคม 2006 (UTC)

จริง ๆ คือจะถามว่า เดิมมันนิยาม เอฟเป็นฟิลด์ น่ะครับ. แต่คิดว่าน่าจะนิยามเป็นซิกมาฟิลด์มากกว่า จุง 14:23, 1 กุมภาพันธ์ 2006 (UTC)

อีม ข้อ สอง ใช่แฮะ เดี๋ยวขอเช็คดูก่อน นะ :P ไร้สติ 17:59, 31 มกราคม 2006 (UTC)

I made a quick fix. Actually, the original publication presented the finite and infinite case separately. I think in this article I tried to slip both of them in as one piece. I might have screwed it up somewhere trying to do so (,meaning there could be more bugs.) My bad! :P ไร้สติ 19:29, 31 มกราคม 2006 (UTC)

ดูจากที่แก้แล้ว ยังรู้สึกงงอยู่ครับ เนื่องจากการจะนิยาม ${\mathfrak {F}}$ เป็น ซิกมาฟิลด์ (σ-field) เราต้องบอกว่าเป็นฟิลด์ของเซตไหนอยู่แล้ว ? (ซึ่งครอบคลุม ${\boldsymbol {\Omega }}$ อยู่แล้ว?) เรายุบรวมข้อหนึ่งข้อสองเป็น

1. ${\mathfrak {F}}$ เป็น ซิกมาฟิลด์ (σ-field) ที่นิยามบน ${\boldsymbol {\Omega }}$

ดีไหมครับ? เอ หรือว่ามันจะไม่ตรงกับของดั้งเดิมของคอลโมโกรอฟ ...

ผมเสนอให้เราเพิ่มสัจพจน์ในรูปของ Pollard ที่คุณไร้สติเขียนไว้ในหน้าพูดคุย (แต่เปลี่ยนสัญลักษณ์จากมิวเป็นพี จากเอ็กซ์เป็นโอเมก้า) เข้าไปในหน้าบทความดีไหมเพราะคิดว่าเข้าใจง่ายและกระชับดี และย้ายของคอลโมโกรอฟ ไปอยู่หัวข้อใหม่ (เช่น "===สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟในรูปดั้งเดิม===") คิดว่าไงครับ?

ปล. ย้ายที่เราคุยกันไปไว้ใน หน้าอภิปรายของสัจพจน์ฯ เลยดีไหม? (อ้อ เมื่อวานถามแล้วเข้านอนเลย เลยตอบช้า แหะๆ =p) ... -- จุง 05:41, 1 กุมภาพันธ์ 2006 (UTC)

Go ahead. Don't mind me. If I have any reasonable objection, I'll speak up. ;) ไร้สติ 08:30, 1 กุมภาพันธ์ 2006 (UTC)

ใจจริงคืออยากจะให้ถูกต้องที่สุดก่อนขึ้นบทความ ... แต่จริง ๆ ก็ไม่เป็นไรนี่เนอะ ผิดถูกก็ปรับปรุงกันไป =) -- จุง 13:57, 1 กุมภาพันธ์ 2006 (UTC)