ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ทฤษฎีบทของวิลสัน"
ล robot Adding: vi:Định lý Wilson |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) จัดรูปแบบ +เก็บกวาดด้วยสคริปต์จัดให้ |
||
| บรรทัด 1: | บรรทัด 1: | ||
ใน[[คณิตศาสตร์]], '''ทฤษฎีบทของวิลสัน''' (Wilson's Theorem) กล่าวว่า สำหรับ[[จำนวนเฉพาะ]] ''p'' > 1, |
ใน[[คณิตศาสตร์]], '''ทฤษฎีบทของวิลสัน''' (Wilson's Theorem) กล่าวว่า สำหรับ[[จำนวนเฉพาะ]] ''p'' > 1, |
||
:<math>(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)</math> |
:<math>(p-1) !\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p) </math> |
||
(ดูเพิ่มเติมใน [[แฟกทอเรียล]] และ [[เลขคณิตมอดุลาร์]] สำหรับความหมายของสัญกรณ์) |
(ดูเพิ่มเติมใน [[แฟกทอเรียล]] และ [[เลขคณิตมอดุลาร์]] สำหรับความหมายของสัญกรณ์) |
||
| บรรทัด 9: | บรรทัด 9: | ||
== การพิสูจน์ == |
== การพิสูจน์ == |
||
ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้า ''p'' เป็นจำนวนเฉพาะคี่ แล้วเซต ''G'' = ('''Z'''/''p'''''Z''')<sup>×</sup> = {1, 2, ... ''p'' − 1} จะอยู่ในรูป[[กรุป]]ภายใต้[[เลขคณิตมอดุลาร์|การคูณมอดุโล ''p'']]ได้ นั่นหมายความว่า สำหรับแต่ละสมาชิก ''i'' ใน ''G'' จะมี[[สมาชิกผกผัน]] ''j'' ใน ''G'' ที่ทำให้ ''ij'' ≡ 1 (mod ''p'') ได้อย่างเดียว. ถ้า ''i'' ≡ ''j'' (mod ''p'') แล้วจะทำให้ ''i''<sup>2</sup> − 1 = (''i'' + 1)(''i'' − 1) ≡ 0 (mod ''p'') จาก ''p'' เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ ''i'' ≡ 1 หรือ −1 (mod ''p''), นั่นคือ ''i'' = 1 หรือ ''i'' = ''p'' − 1. |
ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้า ''p'' เป็นจำนวนเฉพาะคี่ แล้วเซต ''G'' = ('''Z'''/''p'''''Z''') <sup>×</sup> = {1, 2, ... ''p'' − 1} จะอยู่ในรูป[[กรุป]]ภายใต้[[เลขคณิตมอดุลาร์|การคูณมอดุโล ''p'']]ได้ นั่นหมายความว่า สำหรับแต่ละสมาชิก ''i'' ใน ''G'' จะมี[[สมาชิกผกผัน]] ''j'' ใน ''G'' ที่ทำให้ ''ij'' ≡ 1 (mod ''p'') ได้อย่างเดียว. ถ้า ''i'' ≡ ''j'' (mod ''p'') แล้วจะทำให้ ''i''<sup>2</sup> − 1 = (''i'' + 1) (''i'' − 1) ≡ 0 (mod ''p'') จาก ''p'' เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ ''i'' ≡ 1 หรือ −1 (mod ''p'') , นั่นคือ ''i'' = 1 หรือ ''i'' = ''p'' − 1. |
||
หรือกล่าวได้ว่า 1 และ ''p'' − 1 เท่านั้น ที่เป็นตัวผกผันกับตัวเอง แต่สมาชิกตัวอื่นๆใน ''G'' จะมีตัวผกผันที่แตกต่างกัน ดังนั้น ถ้าจับคู่สมาชิกตัวที่ผกผันกันใน ''G'' และคูณทั้งหมดเข้าด้วยกัน จะได้ผลคูณเท่ากับ -1 ตัวอย่างเช่น ถ้า ''p'' = 11 จะได้ |
หรือกล่าวได้ว่า 1 และ ''p'' − 1 เท่านั้น ที่เป็นตัวผกผันกับตัวเอง แต่สมาชิกตัวอื่นๆใน ''G'' จะมีตัวผกผันที่แตกต่างกัน ดังนั้น ถ้าจับคู่สมาชิกตัวที่ผกผันกันใน ''G'' และคูณทั้งหมดเข้าด้วยกัน จะได้ผลคูณเท่ากับ -1 ตัวอย่างเช่น ถ้า ''p'' = 11 จะได้ |
||
:<math>10! = 1(10)(2 \cdot 6)(3 \cdot 4)(5 \cdot 9)(7 \cdot 8) \ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ 11)</math> |
:<math>10! = 1(10) (2 \cdot 6) (3 \cdot 4) (5 \cdot 9) (7 \cdot 8) \ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ 11) </math> |
||
สำหรับบทกลับ ให้ ''n'' เป็น[[จำนวนประกอบ]] ที่ทำให้ (''n'' − 1)! ≡ −1 (mod ''p''), ดังนั้น ''n'' จะมี[[ตัวหาร]]แท้ ''d'' ซึ่ง 1 < ''d'' < ''n'' ดังนั้น ''d'' หาร (''n'' − 1)! ลงตัว แต่ ''d'' หาร (''n'' − 1)! + 1 ลงตัวด้วย ดังนั้น ''d'' หาร 1 ลงตัว เกิดข้อขัดแย้ง |
สำหรับบทกลับ ให้ ''n'' เป็น[[จำนวนประกอบ]] ที่ทำให้ (''n'' − 1) ! ≡ −1 (mod ''p'') , ดังนั้น ''n'' จะมี[[ตัวหาร]]แท้ ''d'' ซึ่ง 1 < ''d'' < ''n'' ดังนั้น ''d'' หาร (''n'' − 1) ! ลงตัว แต่ ''d'' หาร (''n'' − 1) ! + 1 ลงตัวด้วย ดังนั้น ''d'' หาร 1 ลงตัว เกิดข้อขัดแย้ง |
||
== การประยุกต์ == |
== การประยุกต์ == |
||
| บรรทัด 22: | บรรทัด 22: | ||
บทกลับของทฤษฎีบทของวิลสันกล่าวไว้ว่า สำหรับจำนวนประกอบ n > 5 |
บทกลับของทฤษฎีบทของวิลสันกล่าวไว้ว่า สำหรับจำนวนประกอบ n > 5 |
||
:(n − 1)! หารด้วย n ลงตัว |
:(n − 1) ! หารด้วย n ลงตัว |
||
เหลือกรณีที่ n = 4 ซึ่ง 3! สมภาคกับ 2 โมดุโล 4 |
เหลือกรณีที่ n = 4 ซึ่ง 3! สมภาคกับ 2 โมดุโล 4 |
||
| ⚫ | |||
[[หมวดหมู่:เลขคณิตมอดุลาร์]] |
[[หมวดหมู่:เลขคณิตมอดุลาร์]] |
||
[[หมวดหมู่: |
[[หมวดหมู่:จำนวนเฉพาะ]] |
||
[[หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์]] |
|||
| ⚫ | |||
[[bg:Теорема на Уилсън]] |
[[bg:Теорема на Уилсън]] |
||
รุ่นแก้ไขเมื่อ 01:09, 30 สิงหาคม 2550
ในคณิตศาสตร์, ทฤษฎีบทของวิลสัน (Wilson's Theorem) กล่าวว่า สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 1,
(ดูเพิ่มเติมใน แฟกทอเรียล และ เลขคณิตมอดุลาร์ สำหรับความหมายของสัญกรณ์)
ประวัติ
การพิสูจน์
ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ แล้วเซต G = (Z/pZ) × = {1, 2, ... p − 1} จะอยู่ในรูปกรุปภายใต้การคูณมอดุโล pได้ นั่นหมายความว่า สำหรับแต่ละสมาชิก i ใน G จะมีสมาชิกผกผัน j ใน G ที่ทำให้ ij ≡ 1 (mod p) ได้อย่างเดียว. ถ้า i ≡ j (mod p) แล้วจะทำให้ i2 − 1 = (i + 1) (i − 1) ≡ 0 (mod p) จาก p เป็นจำนวนเฉพาะ ทำให้ i ≡ 1 หรือ −1 (mod p) , นั่นคือ i = 1 หรือ i = p − 1.
หรือกล่าวได้ว่า 1 และ p − 1 เท่านั้น ที่เป็นตัวผกผันกับตัวเอง แต่สมาชิกตัวอื่นๆใน G จะมีตัวผกผันที่แตกต่างกัน ดังนั้น ถ้าจับคู่สมาชิกตัวที่ผกผันกันใน G และคูณทั้งหมดเข้าด้วยกัน จะได้ผลคูณเท่ากับ -1 ตัวอย่างเช่น ถ้า p = 11 จะได้
สำหรับบทกลับ ให้ n เป็นจำนวนประกอบ ที่ทำให้ (n − 1) ! ≡ −1 (mod p) , ดังนั้น n จะมีตัวหารแท้ d ซึ่ง 1 < d < n ดังนั้น d หาร (n − 1) ! ลงตัว แต่ d หาร (n − 1) ! + 1 ลงตัวด้วย ดังนั้น d หาร 1 ลงตัว เกิดข้อขัดแย้ง
การประยุกต์
บทกลับ
บทกลับของทฤษฎีบทของวิลสันกล่าวไว้ว่า สำหรับจำนวนประกอบ n > 5
- (n − 1) ! หารด้วย n ลงตัว
เหลือกรณีที่ n = 4 ซึ่ง 3! สมภาคกับ 2 โมดุโล 4
 | บทความคณิตศาสตร์นี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มเติมข้อมูล |