พหุนามฟีโบนัชชี

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

พหุนามฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci polynomial) คือลำดับพหุนาม (polynomial sequence) ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบทั่วไปของจำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci number) และพหุนามที่สร้างจากรูปแบบเดียวกันนี้แต่ด้วยจำนวนลูคัส (Lucas number) นั้นเรียกว่าพหุนามลูคัส (Lucas polynomial)

นิยาม[แก้]

พหุนามฟีโบนัชชีนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) :[1]

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามฟีโบนัชชีคือ:

พหุนามลูคัสก็ได้นำความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันกับพหุนามฟีโบนัชชีเพียงแต่ได้เริ่มต้นด้วยค่าที่แตกต่างกันออกไปดังที่แสดงต่อไปนี้ :[2]

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามลูคัสคือ:

เราสามารถได้จำนานฟีโบนัชชีและจำนวนลูคัสจากการแทนค่าให้ จำนวนเพล (Pell number) ก็สามารถได้จากการคำนวณพจน์ ที่ โดยที่ ดีกรีของ คือ และดีกรีของ คือ

ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function) สำหรับลำดับคือ :[3]

พหุนามดังกล่าวทั้งสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของลำดับลูคัส (Lucas sequence)

เอกลักษณ์[แก้]

ดูบทความหลักที่: ลำดับลูคัส

เนื่องจากพหุนามฟีโบนัชชีนั้นเป็นกรณีย่อยของลำดับลูคัส ดังนั้นพหุนามฟีโบนัชชีจึงมีเอกลักษณ์เหมือนลำดับลูคัสดังต่อไปนี้

ในขั้นแรกเรากำหนดนิยามให้แก่ดัชนีที่เป็นลบก่อน (negative indice) ในกรณีคือ โดยนิยามว่า [4]

และมีเอกลักษณ์อื่นอีกที่ตามมา:[4]

โดยที่รูปแบบปิด (Closed form expression) ของ จะคล้ายกับสูตรของบิเน็ท (Binet's formula) :[4]

เมื่อ

เป็นผลตอบ ที่ได้จากสมการ

มุมมองจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด[แก้]

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีสามารถหากได้จากสามเหลี่ยมปาสกาล ตามเส้นทแยงสีแดงดังรูป และผลบวกของค่าค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าวคือจำนวนฟีโบนัชชีนั้นเอง

ถ้าให้ F (n, k) คือค่าสัมประสิทธิ์ xk ใน Fn (x) เราจะเขียน ใหม่ได้ว่า

นั้นก็คือว่า F (n, k) คือจำนวนวิธีที่สีเหลี่ยมขนาด (n−1) × 1 จะถูกเติมเต็มได้โดยสี่เหลี่ยมขนาด 2 × 1 และสี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 และโดยมีเงื่อนไขว่าให้ใช้สี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 จำนวน k อันเท่านั้น [1] ซึ่งนั้นก็หมายความว่า ประพจน์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้สมมูลกันกับการที่มองว่า F (n, k) เป็นจำนวนวิธีในการเขียน n−1 ในรูปของการประกอบของการบวก (Composition) ที่เกี่ยวข้องกับการบวกกันระหว่างเลข 1 และ 2 โดยที่กำหนดว่าเลข 1 นั้นจะต้องถูกใช้ในการประกอบการบวกเพียงแค่ k ครั้งเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น กรณี F (6, 3) = 4 เราจะเห็นได้ว่า 6-1 = 5 สามารถเขียนโดยใช้เลข 2 และ 1 ได้ใน F (6, 3) = 4 วิธี นั้นคือ 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 (จำนวนครั้งที่การประกอบการบวกที่มีเพียง 1 และ 2 ถูกนำมาใช้ประกอบการบวก และภายใต้เงื่อนไขที่ว่า 1 ถูกนำมาใช้ 3 ตัว นั้นมี 4 วิธี) หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งว่า F (n, k) นั้นก็คือ สัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial coefficient) ที่มีความสัมพันธ์ดังนี้

เมื่อ n และ k คือ ภาวะคู่หรือคี่ที่อยู่ตรงข้ามกัน (opposite parity) และนั้นนำไปสู่การใช้สามเหลี่ยมปาสกาล ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีดังที่แสดงในรูปด้านซ้ายมือ

อ้างอิง[แก้]

ดูเพิ่ม[แก้]

  • Hoggatt, V. E.; Bicknell, Marjorie (1973). "Roots of Fibonacci polynomials.". Fibonacci Quarterly 11: 271–274. ISSN 0015-0517. MR 0332645. 
  • Hoggatt, V. E.; Long, Calvin T. (1974). "Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials". Fibonacci Quarterly 12: 113. MR 0352034. 
  • Ricci, Paolo Emilio (1995). "Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials". Rivista di Matematica della Università di Parma. V. Ser. 4: 137–146. MR 1395332. 
  • Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). "Some identities involving the Fibonacci Polynomials". Fibonacci Quarterly 40 (4): 314. MR 1920571. 
  • Cigler, Johann (2003). "q-Fibonacci polynomials". Fibonacci Quarterly (41): 31–40. MR 1962279. 

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]